Номер 46.10, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.10 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. При каких значениях $x$ вы-полняется равенство:

a) $f(x - 9) = f(x + 5);$

б) $f(2x - 7) = f(2x + 3);$

в) $f(x - 1) = f(x - 7);$

г) $f(1 + 3x) = f(3x + 5)?$

Дана функция $f(x) = x^2$. Равенство $f(A) = f(B)$ для этой функции означает $A^2 = B^2$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Будем решать каждый пункт, рассматривая эти два случая.

а) Для равенства $f(x - 9) = f(x + 5)$ получаем уравнение $(x - 9)^2 = (x + 5)^2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) Аргументы функций равны: $x - 9 = x + 5$.
Упрощая, получаем $-9 = 5$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

2) Аргументы функций являются противоположными числами: $x - 9 = -(x + 5)$.
Раскрываем скобки: $x - 9 = -x - 5$.
Переносим слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую: $x + x = 9 - 5$.
Приводим подобные члены: $2x = 4$.
Находим $x$: $x = 2$.

Ответ: $x=2$.

б) Для равенства $f(2x - 7) = f(2x + 3)$ получаем уравнение $(2x - 7)^2 = (2x + 3)^2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) $2x - 7 = 2x + 3$.
Упрощая, получаем $-7 = 3$. Это неверное равенство, решений нет.

2) $2x - 7 = -(2x + 3)$.
Раскрываем скобки: $2x - 7 = -2x - 3$.
Переносим слагаемые: $2x + 2x = 7 - 3$.
Приводим подобные члены: $4x = 4$.
Находим $x$: $x = 1$.

Ответ: $x=1$.

в) Для равенства $f(x - 1) = f(x - 7)$ получаем уравнение $(x - 1)^2 = (x - 7)^2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) $x - 1 = x - 7$.
Упрощая, получаем $-1 = -7$. Это неверное равенство, решений нет.

2) $x - 1 = -(x - 7)$.
Раскрываем скобки: $x - 1 = -x + 7$.
Переносим слагаемые: $x + x = 1 + 7$.
Приводим подобные члены: $2x = 8$.
Находим $x$: $x = 4$.

Ответ: $x=4$.

г) Для равенства $f(1 + 3x) = f(3x + 5)$ получаем уравнение $(1 + 3x)^2 = (3x + 5)^2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) $1 + 3x = 3x + 5$.
Упрощая, получаем $1 = 5$. Это неверное равенство, решений нет.

2) $1 + 3x = -(3x + 5)$.
Раскрываем скобки: $1 + 3x = -3x - 5$.
Переносим слагаемые: $3x + 3x = -1 - 5$.
Приводим подобные члены: $6x = -6$.
Находим $x$: $x = -1$.

Ответ: $x=-1$.