Номер 46.19, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.19 а) $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2; \\ 2x - 8, & \text{если } 2 < x \le 5; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x < 2; \\ 6 - x, & \text{если } 2 \le x \le 7. \end{cases}$

а) Найдем область значений для функции $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2 \\ 2x - 8, & \text{если } 2 < x \le 5 \end{cases}$

1. Рассмотрим первую часть функции $y = -x^2$ на промежутке $-1 \le x \le 2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Поскольку $x=0$ входит в данный промежуток, максимальное значение функции на этом участке равно $0$. Найдем значения на концах промежутка:
При $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$.
При $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$.
Таким образом, на промежутке $[-1, 2]$ функция принимает значения от $-4$ до $0$. Область значений для этой части: $E_1 = [-4, 0]$.

2. Рассмотрим вторую часть функции $y = 2x - 8$ на промежутке $2 < x \le 5$. Это линейная функция, график которой — прямая. Так как коэффициент при $x$ положителен ($k=2$), функция возрастает. Найдем значения на концах промежутка:
При $x$, стремящемся к $2$ справа ($x \to 2^+$), $y$ стремится к $2 \cdot 2 - 8 = -4$. Эта точка не включается.
При $x = 5$, $y = 2 \cdot 5 - 8 = 2$.
Поскольку функция возрастает, на промежутке $(2, 5]$ она принимает значения от $-4$ (не включая) до $2$ (включая). Область значений для этой части: $E_2 = (-4, 2]$.

3. Общая область значений функции является объединением областей значений ее частей: $E = E_1 \cup E_2 = [-4, 0] \cup (-4, 2]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем итоговый промежуток от $-4$ (включительно) до $2$ (включительно).

Ответ: Область значений функции $E(y) = [-4, 2]$.

б) Найдем область значений для функции $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x < 2 \\ 6 - x, & \text{если } 2 \le x \le 7 \end{cases}$

1. Рассмотрим первую часть функции $y = x^2$ на промежутке $-3 \le x < 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Поскольку $x=0$ входит в данный промежуток, минимальное значение функции на этом участке равно $0$. Найдем значения на концах промежутка:
При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$.
При $x$, стремящемся к $2$ слева ($x \to 2^-$), $y$ стремится к $2^2 = 4$. Эта точка не включается.
Наибольшее значение на этом участке равно $9$, а наименьшее — $0$. Область значений для этой части: $E_1 = [0, 9]$.

2. Рассмотрим вторую часть функции $y = 6 - x$ на промежутке $2 \le x \le 7$. Это линейная функция, график которой — прямая. Так как коэффициент при $x$ отрицателен ($k=-1$), функция убывает. Найдем значения на концах промежутка:
При $x = 2$, $y = 6 - 2 = 4$.
При $x = 7$, $y = 6 - 7 = -1$.
Поскольку функция убывает, на промежутке $[2, 7]$ она принимает значения от $-1$ до $4$. Область значений для этой части: $E_2 = [-1, 4]$.

3. Общая область значений функции является объединением областей значений ее частей: $E = E_1 \cup E_2 = [0, 9] \cup [-1, 4]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем итоговый промежуток от $-1$ (включительно) до $9$ (включительно).

Ответ: Область значений функции $E(y) = [-1, 9]$.