Номер 46.29, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Постройте график функции:

46.29 а) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } -2 \le x \le -1; \\ x, \text{ если } -1 < x \le 1; \\ -x^2, \text{ если } 1 < x \le 2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -1, \text{ если } -4 \le x \le -1; \\ 2x, \text{ если } -1 < x \le 0; \\ -x^2, \text{ если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

Для построения графика заданной кусочно-заданной функции рассмотрим каждый из трех участков отдельно.

1. На промежутке $-2 \le x \le -1$ функция задается формулой $y = x^2$. Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Нам нужна только часть этой параболы на заданном отрезке. Вычислим значения функции на концах отрезка:

• При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Получаем точку $(-2, 4)$.
• При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(-1, 1)$.

Поскольку неравенства нестрогие ($\le$), обе точки $(-2, 4)$ и $(-1, 1)$ принадлежат графику. Соединяем их плавной кривой (частью параболы).

2. На промежутке $-1 < x \le 1$ функция задается формулой $y = x$. Графиком является прямая, проходящая через начало координат (биссектриса I и III координатных углов). Найдем значения на концах интервала:

• При $x = -1$, $y = -1$. Точка $(-1, -1)$. Так как неравенство строгое ($<$), эта точка не принадлежит графику (изображается выколотой точкой).
• При $x = 1$, $y = 1$. Точка $(1, 1)$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка принадлежит графику (изображается сплошной точкой).

Соединяем эти две точки отрезком прямой.

3. На промежутке $1 < x \le 2$ функция задается формулой $y = -x^2$. Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Найдем значения на концах интервала:

• При $x = 1$, $y = -(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$. Так как неравенство строгое ($<$), эта точка не принадлежит графику (выколотая).
• При $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка принадлежит графику (сплошная).

Соединяем эти две точки плавной кривой (частью параболы).

Объединив все три части на одной координатной плоскости, получим искомый график. В точках $x=-1$ и $x=1$ функция имеет разрывы.

Ответ: График функции состоит из трех частей: 1) участка параболы $y=x^2$ с концами в точках $(-2, 4)$ и $(-1, 1)$ (обе точки включены); 2) отрезка прямой $y=x$ с концами в точках $(-1, -1)$ (выколота) и $(1, 1)$ (включена); 3) участка параболы $y=-x^2$ с концами в точках $(1, -1)$ (выколота) и $(2, -4)$ (включена).

Для построения графика этой кусочно-заданной функции также рассмотрим каждый из трех участков отдельно.

1. На промежутке $-4 \le x \le -1$ функция задается формулой $y = -1$. Графиком является горизонтальный отрезок прямой. Концевые точки этого отрезка:

• При $x = -4$, $y = -1$. Точка $(-4, -1)$.
• При $x = -1$, $y = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Поскольку неравенства нестрогие ($\le$), обе точки принадлежат графику. Чертим отрезок, соединяющий $(-4, -1)$ и $(-1, -1)$.

2. На промежутке $-1 < x \le 0$ функция задается формулой $y = 2x$. Графиком является отрезок прямой, проходящей через начало координат. Найдем значения на концах интервала:

• При $x = -1$, $y = 2(-1) = -2$. Точка $(-1, -2)$. Так как неравенство строгое ($<$), эта точка не принадлежит графику (выколотая).
• При $x = 0$, $y = 2(0) = 0$. Точка $(0, 0)$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка принадлежит графику (сплошная).

Соединяем точку $(-1, -2)$ (выколотую) и $(0, 0)$ (сплошную) отрезком прямой.

3. На промежутке $0 < x \le 3$ функция задается формулой $y = -x^2$. Графиком является часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Найдем значения на концах интервала:

• При $x = 0$, $y = -(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$. Неравенство строгое ($<$), поэтому точка должна быть выколота, но она уже включена в график на предыдущем интервале, поэтому график в этой точке непрерывен.
• При $x = 3$, $y = -(3)^2 = -9$. Точка $(3, -9)$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка принадлежит графику (сплошная).

Соединяем точку $(0, 0)$ и $(3, -9)$ плавной кривой (частью параболы).

Объединив все три части на одной координатной плоскости, получим искомый график. В точке $x=-1$ функция имеет разрыв, а в точке $x=0$ она непрерывна.

Ответ: График функции состоит из трех частей: 1) горизонтального отрезка прямой $y=-1$ с концами в точках $(-4, -1)$ и $(-1, -1)$ (обе точки включены); 2) отрезка прямой $y=2x$ с концами в точках $(-1, -2)$ (выколота) и $(0, 0)$ (включена); 3) участка параболы $y=-x^2$ с концами в точках $(0, 0)$ и $(3, -9)$ (точка $(0, 0)$ является точкой соединения со вторым участком, а точка $(3, -9)$ включена).