Номер 46.35, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Задайте аналитически кусочную функцию по её графику, представленному:

46.35 а) на рис. 53

$y = |x|$

б) на рис. 54

$y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \le 1 \\ 2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

в) на рис. 55

$y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le -2 \\ -x, & \text{если } x > -2 \end{cases}$

г) на рис. 56

$y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le 2 \\ x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

а) на рис. 53

График функции представляет собой объединение двух лучей, выходящих из начала координат. Это график модуля.
1. При $x \ge 0$ график является лучом, проходящим через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Это часть прямой $y=x$.
2. При $x < 0$ график является лучом, проходящим через точки $(0, 0)$ и $(-1, 1)$. Это часть прямой $y=-x$.
Объединяя эти два случая, мы получаем аналитическое выражение для кусочной функции.

Ответ: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ (или $y = |x|$).

б) на рис. 54

График функции состоит из двух линейных участков, с точкой излома при $x=1$.
1. При $x \le 1$ график представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y=kx$. Подставив координаты точки $(1, 2)$, получим $2 = k \cdot 1$, откуда $k=2$. Таким образом, на этом промежутке $y=2x$.
2. При $x > 1$ график представляет собой горизонтальный луч, все точки которого имеют ординату $y=2$.
Следовательно, функция задается следующей системой.

Ответ: $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \le 1 \\ 2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

в) на рис. 55

График функции состоит из двух линейных участков, с точкой излома при $x=-2$.
1. При $x \le -2$ график представляет собой горизонтальный луч, все точки которого имеют ординату $y=2$.
2. При $x > -2$ график представляет собой луч, проходящий через точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y=kx$. Подставив координаты точки $(-2, 2)$, получим $2 = k \cdot (-2)$, откуда $k=-1$. Таким образом, на этом промежутке $y=-x$.
Совмещая оба случая, получаем аналитическое задание функции.

Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le -2 \\ -x, & \text{если } x > -2 \end{cases}$.

г) на рис. 56

График функции состоит из двух линейных участков, с точкой излома при $x=2$.
1. При $x \le 2$ график представляет собой горизонтальный луч, все точки которого имеют ординату $y=2$.
2. При $x > 2$ график представляет собой луч, проходящий через точки $(2, 2)$ и $(4, 4)$. Уравнение прямой $y=kx+b$. Угловой коэффициент $k = \frac{4-2}{4-2} = 1$. Подставим точку $(2,2)$ в уравнение $y=1 \cdot x+b$: $2 = 2+b$, откуда $b=0$. Таким образом, на этом промежутке $y=x$.
Запишем итоговую кусочную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \le 2 \\ x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.