Страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

44 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. При каком значении $x$ выполняется равенство:

a) $f(x+1) = f(x-2)$;

б) $f(x-4) = f(x)-4$?

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. Чтобы найти значения $x$, при которых выполняются равенства, необходимо подставить в них определение функции.

а) $f(x + 1) = f(x - 2)$

Подставим вместо аргумента функции $x$ выражения $(x + 1)$ и $(x - 2)$ соответственно:

$f(x + 1) = (x + 1)^2$

$f(x - 2) = (x - 2)^2$

Теперь приравняем полученные выражения:

$(x + 1)^2 = (x - 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2$

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены уравнения, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$x^2 - x^2 + 2x + 4x = 4 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$6x = 3$

Найдем $x$:

$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

б) $f(x - 4) = f(x) - 4$

Подставим в равенство определение функции $f(x) = x^2$:

$(x - 4)^2 = x^2 - 4$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 4$

$x^2 - 8x + 16 = x^2 - 4$

Перенесем члены уравнения, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$x^2 - x^2 - 8x = -4 - 16$

Приведем подобные слагаемые:

$-8x = -20$

Найдем $x$:

$x = \frac{-20}{-8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $x = 2.5$.

45 Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = -x^2$, $g(x) = 3x - 10$.

При каких значениях $x$ выполняется равенство:

a) $f(x + 2) = g(x + 2)$;

б) $f(1 - x) = g\left(\frac{1 - x^2}{3}\right)$?

Даны функции $f(x) = -x^2$ и $g(x) = 3x - 10$. Найдем значения $x$, при которых выполняются указанные равенства.

а) Для равенства $f(x + 2) = g(x + 2)$ сначала найдем выражения для левой и правой частей.

Чтобы найти $f(x + 2)$, подставим в функцию $f(x)$ вместо $x$ выражение $(x+2)$:
$f(x + 2) = -(x + 2)^2 = -(x^2 + 4x + 4) = -x^2 - 4x - 4$.

Чтобы найти $g(x + 2)$, подставим в функцию $g(x)$ вместо $x$ выражение $(x+2)$:
$g(x + 2) = 3(x + 2) - 10 = 3x + 6 - 10 = 3x - 4$.

Теперь приравняем полученные выражения и решим уравнение:
$f(x + 2) = g(x + 2)$
$-x^2 - 4x - 4 = 3x - 4$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$-x^2 - 4x - 3x - 4 + 4 = 0$
$-x^2 - 7x = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$:
$x^2 + 7x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 7) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x + 7 = 0$, откуда $x_2 = -7$.
Ответ: -7; 0.

б) Для равенства $f(1 - x) = g\left(\frac{1 - x^2}{3}\right)$ также найдем выражения для обеих частей.

Найдем $f(1 - x)$, подставив в функцию $f(x)$ вместо $x$ выражение $(1 - x)$:
$f(1 - x) = -(1 - x)^2 = -(1 - 2x + x^2) = -1 + 2x - x^2$.

Найдем $g\left(\frac{1 - x^2}{3}\right)$, подставив в функцию $g(x)$ вместо $x$ выражение $\left(\frac{1 - x^2}{3}\right)$:
$g\left(\frac{1 - x^2}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{1 - x^2}{3}\right) - 10 = (1 - x^2) - 10 = 1 - x^2 - 10 = -x^2 - 9$.

Теперь приравняем полученные выражения и решим уравнение:
$f(1 - x) = g\left(\frac{1 - x^2}{3}\right)$
$-1 + 2x - x^2 = -x^2 - 9$

Прибавим к обеим частям уравнения $x^2$:
$-1 + 2x = -9$

Перенесем -1 в правую часть с противоположным знаком:
$2x = -9 + 1$
$2x = -8$

Разделим обе части на 2:
$x = -4$
Ответ: -4.

46 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x + 6, \text{ если } x \leq -2 \\ x^2, \text{ если } -2 < x \leq 2 \end{cases}$.

Построив график функции $y = f(x)$, определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$:

а) имеет два корня;

б) имеет один корень;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней.

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочной функции: $ f(x) = \begin{cases} x + 6, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 2 \end{cases} $

График состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty, -2]$ строим график линейной функции $y = x + 6$. Это луч, выходящий из точки, соответствующей $x = -2$. Найдем координаты этой точки: $y(-2) = -2 + 6 = 4$. Итак, луч начинается в точке $(-2, 4)$. Для построения возьмем еще одну точку, например, $x = -6$: $y(-6) = -6 + 6 = 0$. Луч проходит через точки $(-2, 4)$ и $(-6, 0)$.

2. На промежутке $(-2, 2]$ строим график квадратичной функции $y = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Вычислим значения функции на концах интервала: при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$; при $x \to -2$, $y \to (-2)^2 = 4$. Таким образом, эта часть графика представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Точка $(2, 4)$ включена в график, а точка $(-2, 4)$ является предельной (не включена в этот кусок), но так как для $x = -2$ функция определена в первой части ($y(-2) = 4$), то график является непрерывным.

Количество корней уравнения $f(x) = p$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$. Проанализируем это количество в зависимости от значения $p$, двигая прямую $y=p$ снизу вверх.

а) имеет два корня

Прямая $y = p$ будет иметь две точки пересечения с графиком в двух случаях:
1. Когда прямая проходит через вершину параболы $(0, 0)$ и пересекает луч. Это происходит при $p=0$. Корни уравнения: $x=0$ (из $x^2=0$) и $x=-6$ (из $x+6=0$).
2. Когда прямая проходит через "стыковые" точки графика $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Это происходит при $p=4$. Корни уравнения: $x=-2$ (из $x+6=4$) и $x=2$ (из $x^2=4$).
Ответ: $p = 0$; $p = 4$.

б) имеет один корень

Прямая $y = p$ пересекает график только в одной точке, когда она проходит ниже оси Ox. В этом случае прямая пересекает только луч $y = x + 6$. Уравнение $x^2 = p$ при $p < 0$ не имеет действительных корней. Это происходит при всех $p < 0$.
Ответ: $p \in (-\infty, 0)$.

в) имеет три корня

Прямая $y = p$ пересекает график в трех точках, если она расположена между уровнем вершины параболы ($y=0$) и уровнем "стыковых" точек ($y=4$). При таких значениях $p$ прямая пересекает луч $y = x + 6$ в одной точке и дугу параболы $y = x^2$ в двух точках. Это условие выполняется для $0 < p < 4$.
Ответ: $p \in (0, 4)$.

г) не имеет корней

Прямая $y = p$ не имеет с графиком общих точек, если она проходит выше максимального значения функции. Максимальное значение функции на всей области определения равно 4 (достигается в точках $x=-2$ и $x=2$). Следовательно, при $p > 4$ общих точек нет.
Ответ: $p \in (4, +\infty)$.

47 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -2x - 4, \text{ если } x < -1, \\ -x^2, \text{ если } -1 \leq x \leq 3. \end{cases}$

Построив график функции $y = f(x)$, определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$:

а) имеет два корня;

б) имеет один корень;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней.

Для решения задачи необходимо построить график кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} -2x - 4, & \text{если } x < -1 \\ -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 3 \end{cases}$, а затем определить, при каких значениях параметра $p$ горизонтальная прямая $y=p$ пересекает этот график заданное число раз.

1. Построение графика.
График состоит из двух частей:

- На промежутке $(-\infty, -1)$ строим график функции $y = -2x - 4$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки. Граничная точка $x=-1$ не входит в данный промежуток, поэтому мы отметим ее как выколотую: $y(-1) = -2(-1) - 4 = 2 - 4 = -2$. Точка $(-1, -2)$ – выколотая. Возьмем еще одну точку, например, $x=-2$: $y(-2) = -2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$. Точка $(-2, 0)$ принадлежит графику. Таким образом, первая часть графика – это луч, выходящий из точки $(-1, -2)$ и проходящий через точку $(-2, 0)$.

- На отрезке $[-1, 3]$ строим график функции $y = -x^2$. Это часть параболы с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значения функции на концах отрезка: $y(-1) = -(-1)^2 = -1$ (точка $(-1, -1)$) и $y(3) = -(3)^2 = -9$ (точка $(3, -9)$). Обе точки, а также вершина, принадлежат графику.

2. Анализ уравнения $f(x)=p$.
Количество корней уравнения $f(x)=p$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$. Исследуем количество пересечений в зависимости от значения $p$.

а) имеет два корня

Уравнение имеет два корня, если прямая $y=p$ пересекает построенный график в двух точках. Анализируя график, видим, что это возможно в двух случаях:
1. Если прямая $y=p$ проходит на уровне $p=0$. Она пересекает параболу в ее вершине $(0, 0)$ и луч в точке $(-2, 0)$.
2. Если прямая $y=p$ находится строго между уровнями $y=-2$ и $y=-1$. В этом случае она пересекает луч в одной точке и параболу в одной точке. То есть при $p \in (-2, -1)$.
Объединив эти случаи, получаем искомые значения $p$.
Ответ: $p \in (-2, -1) \cup \{0\}$.

б) имеет один корень

Уравнение имеет один корень, если прямая $y=p$ пересекает график ровно в одной точке. Это происходит в следующих случаях:
1. Если прямая $y=p$ проходит выше вершины параболы, т.е. $p > 0$. В этом случае она пересекает только луч.
2. Если прямая $y=p$ проходит через самую нижнюю точку графика $(3, -9)$, то есть при $p=-9$.
3. Если прямая $y=p$ находится между $p=-9$ и $p=-2$ (не включая $p=-2$), т.е. $p \in (-9, -2)$. В этом диапазоне прямая пересекает только нисходящую ветвь параболы.
4. Если прямая $y=p$ проходит через уровень $p=-2$. Она пересекает параболу в одной точке ($x=\sqrt{2}$), а луч не пересекает, так как точка $(-1, -2)$ выколота.
Объединяя случаи 2, 3 и 4, получаем отрезок $p \in [-9, -2]$. Объединяя с первым случаем, получаем итоговый ответ.
Ответ: $p \in [-9, -2] \cup (0, +\infty)$.

в) имеет три корня

Уравнение имеет три корня, если прямая $y=p$ пересекает график в трех точках. Это происходит, когда прямая пересекает луч в одной точке и параболу в двух точках.
1. Парабола $y=-x^2$ на отрезке $[-1, 3]$ имеет две точки пересечения с прямой $y=p$, если $p$ находится в интервале $(-1, 0)$. При этих же значениях $p$ прямая пересекает и луч.
2. При $p=-1$ прямая пересекает луч в одной точке ($x=-1.5$) и параболу в двух точках ($x=-1$ и $x=1$). Итого три точки пересечения.
Следовательно, уравнение имеет три корня при $p \in [-1, 0)$.
Ответ: $p \in [-1, 0)$.

г) не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если прямая $y=p$ не имеет ни одной общей точки с графиком функции. Это происходит, когда прямая расположена ниже самой нижней точки графика, то есть ниже $y=-9$.
Ответ: $p < -9$.

Решите уравнение:

48 a) $-3x - 1 = 0;$ в) $5x - 2 = 0;$

б) $2x + 7 = 5;$ г) $9 - 4x = 1.$

а) Дано линейное уравнение: $-3x - 1 = 0$.
Чтобы решить уравнение, нужно изолировать переменную $x$. Для этого сначала перенесем слагаемое, не содержащее $x$ (свободный член), в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.
$-3x = 1$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-3$.
$x = \frac{1}{-3}$
$x = -\frac{1}{3}$
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

б) Дано уравнение: $2x + 7 = 5$.
Перенесем число $7$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак с плюса на минус.
$2x = 5 - 7$
$2x = -2$
Разделим обе части уравнения на $2$, чтобы найти $x$.
$x = \frac{-2}{2}$
$x = -1$
Ответ: $x = -1$.

в) Дано уравнение: $5x - 2 = 0$.
Перенесем свободный член $-2$ в правую часть уравнения, поменяв знак на плюс.
$5x = 2$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент $5$.
$x = \frac{2}{5}$
Ответ можно также представить в виде десятичной дроби: $x = 0.4$.
Ответ: $x = \frac{2}{5}$.

г) Дано уравнение: $9 - 4x = 1$.
Сначала перенесем число $9$ из левой части в правую. Так как перед $9$ стоит неявный плюс, в правой части оно будет со знаком минус.
$-4x = 1 - 9$
$-4x = -8$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-4$.
$x = \frac{-8}{-4}$
$x = 2$
Ответ: $x = 2$.

49 а) $3x - x + 5x = 2.1$;

б) $x + 1.2x - 3.6x = -7$;

в) $6x - 10x + x = 0.3$;

г) $0.7x + 0.8x - x = 2$.

а) Исходное уравнение: $3x - x + 5x = 2,1$.
Чтобы решить это линейное уравнение, сначала нужно упростить левую часть, сложив все члены с переменной $x$. Это называется приведением подобных слагаемых.
$3x - 1x + 5x = (3 - 1 + 5)x = 7x$.
Теперь уравнение выглядит так:
$7x = 2,1$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 7:
$x = \frac{2,1}{7}$
$x = 0,3$
Ответ: $x = 0,3$

б) Исходное уравнение: $x + 1,2x - 3,6x = -7$.
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Помним, что $x$ это то же самое, что и $1x$.
$(1 + 1,2 - 3,6)x = (2,2 - 3,6)x = -1,4x$.
Уравнение принимает вид:
$-1,4x = -7$.
Теперь разделим обе части уравнения на $-1,4$, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-7}{-1,4}$
При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное. Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x = \frac{70}{14}$
$x = 5$
Ответ: $x = 5$

в) Исходное уравнение: $6x - 10x + x = 0,3$.
Снова приводим подобные слагаемые в левой части:
$(6 - 10 + 1)x = (-4 + 1)x = -3x$.
Упрощенное уравнение:
$-3x = 0,3$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на $-3$:
$x = \frac{0,3}{-3}$
$x = -0,1$
Ответ: $x = -0,1$

г) Исходное уравнение: $0,7x + 0,8x - x = 2$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(0,7 + 0,8 - 1)x = (1,5 - 1)x = 0,5x$.
Уравнение принимает вид:
$0,5x = 2$.
Разделим обе части уравнения на $0,5$:
$x = \frac{2}{0,5}$
Деление на $0,5$ эквивалентно умножению на 2:
$x = 4$
Ответ: $x = 4$

50 a) $3y - 11 = 1 - 2y;$

б) $2(y + 2) = -3(y - 1);$

в) $y + 4 = 2y - 5;$

г) $7(y - 3) = -2(y + 3).$

а) Решим уравнение $3y - 11 = 1 - 2y$.

Сначала перенесем все слагаемые, содержащие переменную $y$, в левую часть уравнения, а числа — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую, его знак меняется на противоположный.
$3y + 2y = 1 + 11$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
$5y = 12$
Теперь, чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 5:
$y = \frac{12}{5}$
$y = 2.4$
Ответ: $2.4$

б) Решим уравнение $2(y + 2) = -3(y - 1)$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя распределительный закон умножения:
$2 \cdot y + 2 \cdot 2 = -3 \cdot y - 3 \cdot (-1)$
$2y + 4 = -3y + 3$
Теперь перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$2y + 3y = 3 - 4$
Приведем подобные слагаемые:
$5y = -1$
Разделим обе части на 5:
$y = -\frac{1}{5}$
$y = -0.2$
Ответ: $-0.2$

в) Решим уравнение $y + 4 = 2y - 5$.

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну сторону (например, в правую, чтобы коэффициент при $y$ был положительным), а числа — в другую (в левую):
$4 + 5 = 2y - y$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$9 = y$
Или, что то же самое, $y = 9$.
Ответ: $9$

г) Решим уравнение $7(y - 3) = -2(y + 3)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$7 \cdot y - 7 \cdot 3 = -2 \cdot y - 2 \cdot 3$
$7y - 21 = -2y - 6$
Перенесем все слагаемые с $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$7y + 2y = -6 + 21$
Приведем подобные слагаемые:
$9y = 15$
Разделим обе части уравнения на 9:
$y = \frac{15}{9}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$y = \frac{5}{3}$
Ответ: $\frac{5}{3}$

51 а) $4(x - 5) - (7x + 9) = 1;$

б) $2x - 3(4 - x) = 5 - (x - 1);$

в) $8(3 - 2x) - (x - 2) = 9;$

г) $5x - 6(2x + 7) = 13 - (x + 1).$

а) $4(x - 5) - (7x + 9) = 1$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$4 \cdot x - 4 \cdot 5 - 7x - 9 = 1$

$4x - 20 - 7x - 9 = 1$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$(4x - 7x) + (-20 - 9) = 1$

$-3x - 29 = 1$

Перенесем свободный член (-29) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$-3x = 1 + 29$

$-3x = 30$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -3:

$x = \frac{30}{-3}$

$x = -10$

Ответ: -10

б) $2x - 3(4 - x) = 5 - (x - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2x - 3 \cdot 4 - 3 \cdot (-x) = 5 - x + 1$

$2x - 12 + 3x = 5 - x + 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$(2x + 3x) - 12 = (5 + 1) - x$

$5x - 12 = 6 - x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя знаки при переносе:

$5x + x = 6 + 12$

$6x = 18$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x = \frac{18}{6}$

$x = 3$

Ответ: 3

в) $8(3 - 2x) - (x - 2) = 9$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$8 \cdot 3 - 8 \cdot 2x - x + 2 = 9$

$24 - 16x - x + 2 = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$(-16x - x) + (24 + 2) = 9$

$-17x + 26 = 9$

Перенесем 26 в правую часть с противоположным знаком:

$-17x = 9 - 26$

$-17x = -17$

Разделим обе части уравнения на -17:

$x = \frac{-17}{-17}$

$x = 1$

Ответ: 1

г) $5x - 6(2x + 7) = 13 - (x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5x - 6 \cdot 2x - 6 \cdot 7 = 13 - x - 1$

$5x - 12x - 42 = 13 - x - 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$(5x - 12x) - 42 = (13 - 1) - x$

$-7x - 42 = 12 - x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а свободные члены вправо:

$-7x + x = 12 + 42$

$-6x = 54$

Разделим обе части уравнения на -6:

$x = \frac{54}{-6}$

$x = -9$

Ответ: -9