Номер 46, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 46, страница 224.

Условие.

46 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x + 6, \text{ если } x \leq -2 \\ x^2, \text{ если } -2 < x \leq 2 \end{cases}$.

Построив график функции $y = f(x)$, определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$:

а) имеет два корня;

б) имеет один корень;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочной функции: $ f(x) = \begin{cases} x + 6, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 2 \end{cases} $

График состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty, -2]$ строим график линейной функции $y = x + 6$. Это луч, выходящий из точки, соответствующей $x = -2$. Найдем координаты этой точки: $y(-2) = -2 + 6 = 4$. Итак, луч начинается в точке $(-2, 4)$. Для построения возьмем еще одну точку, например, $x = -6$: $y(-6) = -6 + 6 = 0$. Луч проходит через точки $(-2, 4)$ и $(-6, 0)$.

2. На промежутке $(-2, 2]$ строим график квадратичной функции $y = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Вычислим значения функции на концах интервала: при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$; при $x \to -2$, $y \to (-2)^2 = 4$. Таким образом, эта часть графика представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Точка $(2, 4)$ включена в график, а точка $(-2, 4)$ является предельной (не включена в этот кусок), но так как для $x = -2$ функция определена в первой части ($y(-2) = 4$), то график является непрерывным.

Количество корней уравнения $f(x) = p$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$. Проанализируем это количество в зависимости от значения $p$, двигая прямую $y=p$ снизу вверх.

а) имеет два корня

Прямая $y = p$ будет иметь две точки пересечения с графиком в двух случаях:
1. Когда прямая проходит через вершину параболы $(0, 0)$ и пересекает луч. Это происходит при $p=0$. Корни уравнения: $x=0$ (из $x^2=0$) и $x=-6$ (из $x+6=0$).
2. Когда прямая проходит через "стыковые" точки графика $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Это происходит при $p=4$. Корни уравнения: $x=-2$ (из $x+6=4$) и $x=2$ (из $x^2=4$).
Ответ: $p = 0$; $p = 4$.

б) имеет один корень

Прямая $y = p$ пересекает график только в одной точке, когда она проходит ниже оси Ox. В этом случае прямая пересекает только луч $y = x + 6$. Уравнение $x^2 = p$ при $p < 0$ не имеет действительных корней. Это происходит при всех $p < 0$.
Ответ: $p \in (-\infty, 0)$.

в) имеет три корня

Прямая $y = p$ пересекает график в трех точках, если она расположена между уровнем вершины параболы ($y=0$) и уровнем "стыковых" точек ($y=4$). При таких значениях $p$ прямая пересекает луч $y = x + 6$ в одной точке и дугу параболы $y = x^2$ в двух точках. Это условие выполняется для $0 < p < 4$.
Ответ: $p \in (0, 4)$.

г) не имеет корней

Прямая $y = p$ не имеет с графиком общих точек, если она проходит выше максимального значения функции. Максимальное значение функции на всей области определения равно 4 (достигается в точках $x=-2$ и $x=2$). Следовательно, при $p > 4$ общих точек нет.
Ответ: $p \in (4, +\infty)$.