Номер 47, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 47, страница 224.

Условие.

47 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -2x - 4, \text{ если } x < -1, \\ -x^2, \text{ если } -1 \leq x \leq 3. \end{cases}$

Построив график функции $y = f(x)$, определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$:

а) имеет два корня;

б) имеет один корень;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для решения задачи необходимо построить график кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} -2x - 4, & \text{если } x < -1 \\ -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 3 \end{cases}$, а затем определить, при каких значениях параметра $p$ горизонтальная прямая $y=p$ пересекает этот график заданное число раз.

1. Построение графика.
График состоит из двух частей:

- На промежутке $(-\infty, -1)$ строим график функции $y = -2x - 4$. Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки. Граничная точка $x=-1$ не входит в данный промежуток, поэтому мы отметим ее как выколотую: $y(-1) = -2(-1) - 4 = 2 - 4 = -2$. Точка $(-1, -2)$ – выколотая. Возьмем еще одну точку, например, $x=-2$: $y(-2) = -2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$. Точка $(-2, 0)$ принадлежит графику. Таким образом, первая часть графика – это луч, выходящий из точки $(-1, -2)$ и проходящий через точку $(-2, 0)$.

- На отрезке $[-1, 3]$ строим график функции $y = -x^2$. Это часть параболы с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значения функции на концах отрезка: $y(-1) = -(-1)^2 = -1$ (точка $(-1, -1)$) и $y(3) = -(3)^2 = -9$ (точка $(3, -9)$). Обе точки, а также вершина, принадлежат графику.

2. Анализ уравнения $f(x)=p$.
Количество корней уравнения $f(x)=p$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = p$. Исследуем количество пересечений в зависимости от значения $p$.

а) имеет два корня

Уравнение имеет два корня, если прямая $y=p$ пересекает построенный график в двух точках. Анализируя график, видим, что это возможно в двух случаях:
1. Если прямая $y=p$ проходит на уровне $p=0$. Она пересекает параболу в ее вершине $(0, 0)$ и луч в точке $(-2, 0)$.
2. Если прямая $y=p$ находится строго между уровнями $y=-2$ и $y=-1$. В этом случае она пересекает луч в одной точке и параболу в одной точке. То есть при $p \in (-2, -1)$.
Объединив эти случаи, получаем искомые значения $p$.
Ответ: $p \in (-2, -1) \cup \{0\}$.

б) имеет один корень

Уравнение имеет один корень, если прямая $y=p$ пересекает график ровно в одной точке. Это происходит в следующих случаях:
1. Если прямая $y=p$ проходит выше вершины параболы, т.е. $p > 0$. В этом случае она пересекает только луч.
2. Если прямая $y=p$ проходит через самую нижнюю точку графика $(3, -9)$, то есть при $p=-9$.
3. Если прямая $y=p$ находится между $p=-9$ и $p=-2$ (не включая $p=-2$), т.е. $p \in (-9, -2)$. В этом диапазоне прямая пересекает только нисходящую ветвь параболы.
4. Если прямая $y=p$ проходит через уровень $p=-2$. Она пересекает параболу в одной точке ($x=\sqrt{2}$), а луч не пересекает, так как точка $(-1, -2)$ выколота.
Объединяя случаи 2, 3 и 4, получаем отрезок $p \in [-9, -2]$. Объединяя с первым случаем, получаем итоговый ответ.
Ответ: $p \in [-9, -2] \cup (0, +\infty)$.

в) имеет три корня

Уравнение имеет три корня, если прямая $y=p$ пересекает график в трех точках. Это происходит, когда прямая пересекает луч в одной точке и параболу в двух точках.
1. Парабола $y=-x^2$ на отрезке $[-1, 3]$ имеет две точки пересечения с прямой $y=p$, если $p$ находится в интервале $(-1, 0)$. При этих же значениях $p$ прямая пересекает и луч.
2. При $p=-1$ прямая пересекает луч в одной точке ($x=-1.5$) и параболу в двух точках ($x=-1$ и $x=1$). Итого три точки пересечения.
Следовательно, уравнение имеет три корня при $p \in [-1, 0)$.
Ответ: $p \in [-1, 0)$.

г) не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если прямая $y=p$ не имеет ни одной общей точки с графиком функции. Это происходит, когда прямая расположена ниже самой нижней точки графика, то есть ниже $y=-9$.
Ответ: $p < -9$.