Страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

72 Из городов A и B, расстояние между которыми 350 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Через 3 ч после начала движения им осталось проехать до встречи 20 км. Найдите скорости мотоциклистов, если скорость одного из них на 10 км/ч меньше скорости другого.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение, исходя из условий.

1. Определение скоростей.
Пусть скорость одного (более медленного) мотоциклиста равна $x$ км/ч.Поскольку скорость другого мотоциклиста на 10 км/ч больше, то его скорость будет равна $(x + 10)$ км/ч.

2. Определение пройденного расстояния.
Мотоциклисты движутся навстречу друг другу. Общее расстояние между городами А и В составляет 350 км. Через 3 часа после начала движения расстояние между ними сократилось до 20 км. Это значит, что за 3 часа они вместе проехали расстояние, равное разнице между начальным и оставшимся расстояниями:
$S_{пройденное} = 350 - 20 = 330$ км.

3. Использование скорости сближения.
Скорость, с которой мотоциклисты приближаются друг к другу (скорость сближения), равна сумме их скоростей:
$v_{сближения} = x + (x + 10) = 2x + 10$ км/ч.
Пройденное ими расстояние можно найти по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ - расстояние, $v$ - скорость, $t$ - время. В нашем случае $t = 3$ ч.

4. Составление и решение уравнения.
Приравняем пройденное расстояние, вычисленное двумя способами:
$S_{пройденное} = v_{сближения} \cdot t$
$330 = (2x + 10) \cdot 3$
Разделим обе части уравнения на 3:
$110 = 2x + 10$
Вычтем 10 из обеих частей:
$100 = 2x$
Найдем $x$:
$x = \frac{100}{2}$
$x = 50$

5. Нахождение скоростей обоих мотоциклистов.
Мы нашли скорость более медленного мотоциклиста: $x = 50$ км/ч.
Теперь найдем скорость второго, более быстрого мотоциклиста:
$x + 10 = 50 + 10 = 60$ км/ч.

Таким образом, скорости мотоциклистов составляют 50 км/ч и 60 км/ч.

Проверка:
Скорость сближения: $50 + 60 = 110$ км/ч.
Расстояние, пройденное за 3 часа: $110 \cdot 3 = 330$ км.
Оставшееся расстояние: $350 - 330 = 20$ км. Все верно.

Ответ: скорости мотоциклистов 50 км/ч и 60 км/ч.

73 Один кусок электропровода на 54 м длиннее второго. Когда от каждого куска отрезали по 12 м, второй кусок оказался в 4 раза короче первого. Сколько метров провода было в каждом куске?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть первоначальная длина второго куска провода равна $x$ метров. Поскольку первый кусок на 54 м длиннее, его первоначальная длина составляет $(x + 54)$ метров.

Когда от каждого куска отрезали по 12 м, их длины изменились. Новая длина первого куска стала $(x + 54) - 12 = (x + 42)$ м. Новая длина второго куска стала $(x - 12)$ м.

По условию, после этого второй кусок оказался в 4 раза короче первого. Это значит, что длина первого куска стала в 4 раза больше длины второго. Запишем это в виде уравнения:

$x + 42 = 4 \cdot (x - 12)$

Теперь решим это уравнение для нахождения $x$:

$x + 42 = 4x - 48$

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$42 + 48 = 4x - x$

$90 = 3x$

$x = \frac{90}{3}$

$x = 30$

Таким образом, первоначальная длина второго куска провода составляла 30 метров.

Найдем первоначальную длину первого куска, зная, что он на 54 м длиннее:

$30 + 54 = 84$ метра.

Проверка: Изначальные длины — 84 м и 30 м (разница 54 м). После отрезания 12 м: $84 - 12 = 72$ м и $30 - 12 = 18$ м. Отношение длин: $72 / 18 = 4$. Условие выполняется.

Ответ: первоначальная длина первого куска провода была 84 метра, а второго — 30 метров.

74 На запасных путях станции стояли два состава одинаковых вагонов. В одном составе было на 12 вагонов больше, чем в другом. Когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, в одном составе стало вагонов в 3 раза больше, чем в другом. Сколько вагонов было первоначально в каждом составе?

Для решения этой задачи составим и решим уравнение с одной переменной.

1. Обозначение переменных

Пусть $x$ — это первоначальное количество вагонов в меньшем составе. Поскольку в другом составе было на 12 вагонов больше, то его первоначальное количество вагонов составляет $x + 12$.

2. Описание ситуации после изменений

От каждого состава отцепили по 6 вагонов. Следовательно, количество вагонов в составах стало:

– В меньшем составе: $x - 6$ вагонов.

– В большем составе: $(x + 12) - 6 = x + 6$ вагонов.

3. Составление и решение уравнения

По новому условию, в большем составе стало в 3 раза больше вагонов, чем в меньшем. На основе этого составим уравнение:

$x + 6 = 3 \cdot (x - 6)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x + 6 = 3x - 18$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Для удобства перенесем $x$ вправо, а числа влево:

$6 + 18 = 3x - x$

$24 = 2x$

Найдем $x$:

$x = \frac{24}{2}$

$x = 12$

Таким образом, первоначально в меньшем составе было 12 вагонов.

4. Нахождение количества вагонов во втором составе

Первоначальное количество вагонов в большем составе было $x + 12$. Подставим найденное значение $x=12$:

$12 + 12 = 24$

Значит, в большем составе было 24 вагона.

5. Проверка

Проверим полученные результаты. Изначально было 12 и 24 вагона. Разница составляет $24 - 12 = 12$, что соответствует условию.

После того как отцепили по 6 вагонов, в составах стало:

– В первом: $12 - 6 = 6$ вагонов.

– Во втором: $24 - 6 = 18$ вагонов.

Проверим соотношение: $18 \div 6 = 3$. Во втором составе стало в 3 раза больше вагонов. Все условия задачи выполнены, следовательно, решение верное.

Ответ: первоначально в одном составе было 12 вагонов, а в другом — 24 вагона.

75 В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда было в корзине?

Для решения этой задачи составим уравнение. Давайте обозначим первоначальное количество винограда в корзине за $x$ кг.

Из условия известно, что в корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. Следовательно, в ящике было в 2 раза больше винограда, то есть $2x$ кг.

После того как в корзину добавили 2 кг, количество винограда в ней стало равно $(x + 2)$ кг. Количество винограда в ящике при этом не изменилось и осталось $2x$ кг.

По новому условию, количество винограда в корзине стало на 0,5 кг больше, чем в ящике. Мы можем записать это в виде уравнения:

Количество в корзине = Количество в ящике + 0,5 кг

$x + 2 = 2x + 0.5$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем все члены с переменной $x$ в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую:

$2 - 0.5 = 2x - x$

Выполним вычисления:

$1.5 = x$

Таким образом, мы нашли, что первоначально в корзине было 1,5 кг винограда.

Проверка:

Если в корзине было 1,5 кг винограда, то в ящике было $2 \times 1.5 = 3$ кг. Это соответствует условию, что в корзине в 2 раза меньше, чем в ящике.

После добавления в корзину 2 кг, в ней стало $1.5 + 2 = 3.5$ кг. В ящике так и осталось 3 кг. Сравним количество винограда: $3.5 - 3 = 0.5$ кг. Это соответствует условию, что в корзине стало на 0,5 кг больше. Решение верное.

Ответ: 1,5 кг.

76 В первый день в магазине было продано 30 % всего картофеля. Во второй день — 40 % оставшегося картофеля, а в третий день — последние 84 кг. Сколько килограммов картофеля было в магазине первоначально?

Для решения этой задачи удобнее всего рассуждать в обратном порядке, начиная с данных за последний день.

1. В третий день были проданы последние 84 кг картофеля. Это значит, что к началу третьего дня (и в конце второго) в магазине оставалось ровно 84 кг картофеля.

2. Во второй день было продано 40% картофеля, который оставался после первого дня. Следовательно, 84 кг, оставшиеся на третий день, составляют $100\% - 40\% = 60\%$ от того количества, которое было в магазине в начале второго дня. Обозначим это количество за $y$. Тогда можно составить пропорцию или уравнение:
$y \cdot 0.60 = 84$
Чтобы найти $y$ (количество картофеля в начале второго дня), нужно разделить 84 на 0.6:
$y = \frac{84}{0.6} = \frac{840}{6} = 140$ кг.
Таким образом, после первого дня продажи в магазине оставалось 140 кг картофеля.

3. В первый день было продано 30% всего картофеля. Это означает, что 140 кг, которые остались в магазине к концу первого дня, составляют $100\% - 30\% = 70\%$ от всего первоначального количества картофеля. Обозначим первоначальное количество за $x$. Составим уравнение:
$x \cdot 0.70 = 140$
Чтобы найти $x$ (первоначальное количество картофеля), нужно разделить 140 на 0.7:
$x = \frac{140}{0.7} = \frac{1400}{7} = 200$ кг.

Ответ: первоначально в магазине было 200 кг картофеля.

77 Расстояние между пунктами А и В равно 40 км. Из пункта В в пункт А выехал велосипедист, а из А навстречу ему — автомобиль. Автомобиль проехал до встречи расстояние в 4 раза большее, чем велосипедист. На каком расстоянии от А произошла встреча?

Пусть расстояние, которое проехал велосипедист до встречи, равно $x$ км. По условию задачи, автомобиль проехал расстояние в 4 раза большее, чем велосипедист. Следовательно, расстояние, которое проехал автомобиль, равно $4x$ км.

Автомобиль и велосипедист двигались навстречу друг другу из пунктов А и В соответственно. В момент встречи суммарное расстояние, которое они преодолели, равно всему расстоянию между пунктами А и В, то есть 40 км.

Составим и решим уравнение, чтобы найти пройденные ими расстояния: $x + 4x = 40$ $5x = 40$ $x = \frac{40}{5}$ $x = 8$

Таким образом, велосипедист, выехавший из пункта В, проехал до встречи 8 км. Автомобиль, выехавший из пункта А, проехал до встречи расстояние $4x = 4 \times 8 = 32$ км.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти расстояние от пункта А до места встречи. Это расстояние равно пути, который проехал автомобиль, так как он выехал из пункта А.

Ответ: встреча произошла на расстоянии 32 км от пункта А.

78 Из пункта A в пункт B со скоростью 60 км/ч выехал мотоциклист. Через 30 мин навстречу ему из B выехал другой мотоциклист, скорость которого составляла 50 км/ч. Какое время ехал второй мотоциклист до встречи с первым, если расстояние между A и B равно 162 км?

Решение

Обозначим известные и неизвестные величины:

• $v_1 = 60$ км/ч – скорость первого мотоциклиста, выехавшего из пункта А.
• $v_2 = 50$ км/ч – скорость второго мотоциклиста, выехавшего из пункта В.
• $S = 162$ км – общее расстояние между пунктами А и В.
• $\Delta t = 30$ мин – разница во времени выезда.
• $t_2$ – искомое время, которое ехал второй мотоциклист до встречи.

Решим задачу по шагам.

Шаг 1: Определим расстояние, которое проехал первый мотоциклист до выезда второго.

Первый мотоциклист был в пути 30 минут до того, как выехал второй. Переведем это время в часы, чтобы единицы измерения были согласованы:

$\Delta t = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$

За это время первый мотоциклист проехал расстояние $S_{форы}$:

$S_{\text{форы}} = v_1 \times \Delta t = 60 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 30 \text{ км}$

Шаг 2: Найдем оставшееся расстояние между мотоциклистами.

В момент, когда второй мотоциклист начал движение из пункта В, расстояние между ними было уже не 162 км, а меньше на то расстояние, которое успел проехать первый. Найдем это оставшееся расстояние $S_{\text{ост}}$:

$S_{\text{ост}} = S - S_{\text{форы}} = 162 \text{ км} - 30 \text{ км} = 132 \text{ км}$

Шаг 3: Рассчитаем время до встречи.

Теперь оба мотоциклиста движутся одновременно навстречу друг другу. Чтобы найти время до их встречи, нужно использовать их общую скорость сближения $v_{\text{сбл}}$, которая равна сумме их скоростей:

$v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 50 \text{ км/ч} = 110 \text{ км/ч}$

Время, которое ехал второй мотоциклист до встречи ($t_2$), можно найти, разделив оставшееся расстояние на скорость сближения:

$t_2 = \frac{S_{\text{ост}}}{v_{\text{сбл}}} = \frac{132 \text{ км}}{110 \text{ км/ч}}$

Выполним вычисление:

$t_2 = 1.2 \text{ часа}$

Это время можно также представить в часах и минутах: $1.2$ часа = 1 час и $0.2$ часа. Так как $0.2 \text{ часа} = 0.2 \times 60 = 12$ минут, то время равно 1 часу 12 минутам.

Проверка:

За 1.2 часа второй мотоциклист проехал: $S_2 = v_2 \times t_2 = 50 \times 1.2 = 60$ км.

Первый мотоциклист был в пути на 0.5 часа дольше: $t_1 = t_2 + 0.5 = 1.2 + 0.5 = 1.7$ часа.

За 1.7 часа первый мотоциклист проехал: $S_1 = v_1 \times t_1 = 60 \times 1.7 = 102$ км.

Суммарное расстояние, которое они проехали до встречи: $S_1 + S_2 = 102 \text{ км} + 60 \text{ км} = 162$ км. Это совпадает с расстоянием между пунктами А и В, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 1.2 часа.

79 Катер шёл по течению реки 5 ч, а затем против течения 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч, а всего пройдено 126 км.

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч.

Когда катер идет по течению, его скорость увеличивается на скорость течения. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Следовательно, скорость катера по течению составляет $v_{по~теч.} = (x + 3)$ км/ч.

Когда катер идет против течения, его скорость уменьшается на скорость течения. Следовательно, скорость катера против течения составляет $v_{против~теч.} = (x - 3)$ км/ч.

Расстояние, которое катер прошел по течению за 5 часов, можно найти по формуле $S = v \cdot t$:
$S_{по~теч.} = 5 \cdot (x + 3)$ км.

Расстояние, которое катер прошел против течения за 3 часа:
$S_{против~теч.} = 3 \cdot (x - 3)$ км.

Общее пройденное расстояние равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения, и по условию оно составляет 126 км. Составим уравнение:

$5(x + 3) + 3(x - 3) = 126$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$5x + 15 + 3x - 9 = 126$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(5x + 3x) + (15 - 9) = 126$

$8x + 6 = 126$

Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$8x = 126 - 6$

$8x = 120$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$x = \frac{120}{8}$

$x = 15$

Следовательно, собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

80 Из пункта $M$ в пункт $N$ выехал автобус. Через полчаса из $N$ в $M$ со скоростью, превышающей скорость автобуса на 18 км/ч, выехал легковой автомобиль. Через 1 ч 20 мин после своего выхода он встретил автобус, причём проехал расстояние на 3 км большее, чем автобус. Чему равно расстояние между $M$ и $N$?

Пусть $v_б$ (в км/ч) — скорость автобуса. Тогда, согласно условию, скорость легкового автомобиля равна $(v_б + 18)$ км/ч.

Легковой автомобиль начал движение через 30 минут (то есть 0,5 часа) после автобуса. Встреча произошла через 1 час 20 минут после выезда автомобиля.

Для начала переведем время движения автомобиля до встречи в часы:

$t_а = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{4}{3} \text{ ч}$.

За это время автомобиль проехал расстояние $s_а$, равное:

$s_а = v_а \cdot t_а = (v_б + 18) \cdot \frac{4}{3}$ км.

Автобус до момента встречи был в пути на 0,5 часа дольше, чем автомобиль. Следовательно, его время в пути $t_б$ составляет:

$t_б = t_а + 0,5 = \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{8}{6} + \frac{3}{6} = \frac{11}{6}$ ч.

Расстояние $s_б$, которое проехал автобус за это время, равно:

$s_б = v_б \cdot t_б = v_б \cdot \frac{11}{6}$ км.

По условию задачи, расстояние, пройденное автомобилем, на 3 км больше расстояния, пройденного автобусом. На основе этого составим уравнение:

$s_а = s_б + 3$

Подставим в это уравнение выражения для $s_а$ и $s_б$:

$(v_б + 18) \cdot \frac{4}{3} = v_б \cdot \frac{11}{6} + 3$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти скорость автобуса $v_б$. Для избавления от дробей умножим обе части уравнения на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6):

$6 \cdot (v_б + 18) \cdot \frac{4}{3} = 6 \cdot v_б \cdot \frac{11}{6} + 6 \cdot 3$

$2 \cdot (v_б + 18) \cdot 4 = 11 \cdot v_б + 18$

$8(v_б + 18) = 11v_б + 18$

$8v_б + 144 = 11v_б + 18$

$144 - 18 = 11v_б - 8v_б$

$126 = 3v_б$

$v_б = \frac{126}{3} = 42$ км/ч.

Мы нашли скорость автобуса. Теперь можем найти расстояния, которые проехали оба транспортных средства до встречи.

Расстояние, пройденное автобусом:

$s_б = v_б \cdot t_б = 42 \cdot \frac{11}{6} = 7 \cdot 11 = 77$ км.

Расстояние, пройденное автомобилем (на 3 км больше):

$s_а = s_б + 3 = 77 + 3 = 80$ км.

Общее расстояние между пунктами M и N равно сумме расстояний, пройденных автобусом и автомобилем до их встречи, так как они двигались навстречу друг другу:

$S = s_б + s_а = 77 + 80 = 157$ км.

Ответ: 157 км.