Номер 80, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Линейные уравнения и системы уравнений - номер 80, страница 227.

Условие.

80 Из пункта $M$ в пункт $N$ выехал автобус. Через полчаса из $N$ в $M$ со скоростью, превышающей скорость автобуса на 18 км/ч, выехал легковой автомобиль. Через 1 ч 20 мин после своего выхода он встретил автобус, причём проехал расстояние на 3 км большее, чем автобус. Чему равно расстояние между $M$ и $N$?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Пусть $v_б$ (в км/ч) — скорость автобуса. Тогда, согласно условию, скорость легкового автомобиля равна $(v_б + 18)$ км/ч.

Легковой автомобиль начал движение через 30 минут (то есть 0,5 часа) после автобуса. Встреча произошла через 1 час 20 минут после выезда автомобиля.

Для начала переведем время движения автомобиля до встречи в часы:

$t_а = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{4}{3} \text{ ч}$.

За это время автомобиль проехал расстояние $s_а$, равное:

$s_а = v_а \cdot t_а = (v_б + 18) \cdot \frac{4}{3}$ км.

Автобус до момента встречи был в пути на 0,5 часа дольше, чем автомобиль. Следовательно, его время в пути $t_б$ составляет:

$t_б = t_а + 0,5 = \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{8}{6} + \frac{3}{6} = \frac{11}{6}$ ч.

Расстояние $s_б$, которое проехал автобус за это время, равно:

$s_б = v_б \cdot t_б = v_б \cdot \frac{11}{6}$ км.

По условию задачи, расстояние, пройденное автомобилем, на 3 км больше расстояния, пройденного автобусом. На основе этого составим уравнение:

$s_а = s_б + 3$

Подставим в это уравнение выражения для $s_а$ и $s_б$:

$(v_б + 18) \cdot \frac{4}{3} = v_б \cdot \frac{11}{6} + 3$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти скорость автобуса $v_б$. Для избавления от дробей умножим обе части уравнения на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6):

$6 \cdot (v_б + 18) \cdot \frac{4}{3} = 6 \cdot v_б \cdot \frac{11}{6} + 6 \cdot 3$

$2 \cdot (v_б + 18) \cdot 4 = 11 \cdot v_б + 18$

$8(v_б + 18) = 11v_б + 18$

$8v_б + 144 = 11v_б + 18$

$144 - 18 = 11v_б - 8v_б$

$126 = 3v_б$

$v_б = \frac{126}{3} = 42$ км/ч.

Мы нашли скорость автобуса. Теперь можем найти расстояния, которые проехали оба транспортных средства до встречи.

Расстояние, пройденное автобусом:

$s_б = v_б \cdot t_б = 42 \cdot \frac{11}{6} = 7 \cdot 11 = 77$ км.

Расстояние, пройденное автомобилем (на 3 км больше):

$s_а = s_б + 3 = 77 + 3 = 80$ км.

Общее расстояние между пунктами M и N равно сумме расстояний, пройденных автобусом и автомобилем до их встречи, так как они двигались навстречу друг другу:

$S = s_б + s_а = 77 + 80 = 157$ км.

Ответ: 157 км.