Номер 87, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Линейные уравнения и системы уравнений. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 87, страница 229.

Условие.

Решите систему уравнений:

87 a) $\begin{cases} 3x - 2y = 12, \\ x + 2y = -4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - y = 4, \\ 2x + 3y = 21; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 3, \\ -x - 4y = 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4x + 3y = 10, \\ x - 2y = -3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

а) Дана система уравнений:$\begin{cases}3x - 2y = 12 \\x + 2y = -4\end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-2$ и $2$). Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x - 2y) + (x + 2y) = 12 + (-4)$
$4x = 8$
$x = \frac{8}{4} = 2$
Теперь подставим найденное значение $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$2 + 2y = -4$
$2y = -4 - 2$
$2y = -6$
$y = \frac{-6}{2} = -3$
Проверим найденное решение, подставив $x=2$ и $y=-3$ в оба уравнения:
1) $3(2) - 2(-3) = 6 + 6 = 12$ (верно)
2) $2 + 2(-3) = 2 - 6 = -4$ (верно)
Ответ: $(2; -3)$.

б) Дана система уравнений:$\begin{cases}3x - y = 4 \\2x + 3y = 21\end{cases}$
Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$-y = 4 - 3x$
$y = 3x - 4$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x + 3(3x - 4) = 21$
$2x + 9x - 12 = 21$
$11x = 21 + 12$
$11x = 33$
$x = \frac{33}{11} = 3$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=3$ в выражение для $y$:
$y = 3(3) - 4 = 9 - 4 = 5$
Проверим найденное решение, подставив $x=3$ и $y=5$ в оба уравнения:
1) $3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$ (верно)
2) $2(3) + 3(5) = 6 + 15 = 21$ (верно)
Ответ: $(3; 5)$.

в) Дана система уравнений:$\begin{cases}x - y = 3 \\-x - 4y = 7\end{cases}$
Эту систему удобно решить методом сложения, так как коэффициенты при $x$ являются противоположными числами ($1$ и $-1$). Сложим уравнения:
$(x - y) + (-x - 4y) = 3 + 7$
$-5y = 10$
$y = \frac{10}{-5} = -2$
Подставим найденное значение $y = -2$ в первое уравнение системы:
$x - (-2) = 3$
$x + 2 = 3$
$x = 3 - 2 = 1$
Проверим найденное решение, подставив $x=1$ и $y=-2$ в оба уравнения:
1) $1 - (-2) = 1 + 2 = 3$ (верно)
2) $-(1) - 4(-2) = -1 + 8 = 7$ (верно)
Ответ: $(1; -2)$.

г) Дана система уравнений:$\begin{cases}4x + 3y = 10 \\x - 2y = -3\end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 2y - 3$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$4(2y - 3) + 3y = 10$
$8y - 12 + 3y = 10$
$11y = 10 + 12$
$11y = 22$
$y = \frac{22}{11} = 2$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y=2$ в выражение для $x$:
$x = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$
Проверим найденное решение, подставив $x=1$ и $y=2$ в оба уравнения:
1) $4(1) + 3(2) = 4 + 6 = 10$ (верно)
2) $1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$ (верно)
Ответ: $(1; 2)$.