Номер 89, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Линейные уравнения и системы уравнений. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 89, страница 229.

Условие.

89 a) $$\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 6x - 3y = 9; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 2x + 5y = 10, \\ 4x + 10y = 15; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y = -1, \\ \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}y = 1; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y = 2, \\ -\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = -1. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 3, \\ 6x - 3y = 9; \end{cases} $

Для решения системы можно заметить, что второе уравнение можно получить из первого. Разделим обе части второго уравнения $6x - 3y = 9$ на 3:

$\frac{6x - 3y}{3} = \frac{9}{3}$

$2x - y = 3$

Полученное уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что уравнения являются линейно зависимыми и описывают одну и ту же прямую. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Чтобы описать все решения, выразим одну переменную через другую из уравнения $2x - y = 3$:

$y = 2x - 3$

Таким образом, любая пара чисел $(x, 2x - 3)$, где $x$ — любое действительное число, является решением системы.

Ответ: Бесконечное множество решений вида $(x, 2x - 3)$, где $x$ — любое действительное число.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y = -1, \\ \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}y = 1; \end{cases} $

Чтобы упростить систему, избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 3, а второе — на 5.

Первое уравнение: $3 \cdot (\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y) = 3 \cdot (-1) \implies 2x + y = -3$.

Второе уравнение: $5 \cdot (\frac{2}{5}x + \frac{1}{5}y) = 5 \cdot 1 \implies 2x + y = 1$.

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 2x + y = -3, \\ 2x + y = 5; \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2x + y) - (2x + y) = -3 - 5$

$0 = -8$

Мы получили неверное равенство, которое не зависит от переменных $x$ и $y$. Это означает, что система несовместна, то есть у нее нет решений. Геометрически это соответствует двум параллельным прямым, которые не пересекаются.

Ответ: Нет решений.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 5y = 10, \\ 4x + 10y = 15; \end{cases} $

Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными.

$-2 \cdot (2x + 5y) = -2 \cdot 10 \implies -4x - 10y = -20$.

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} -4x - 10y = -20, \\ 4x + 10y = 15; \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(-4x - 10y) + (4x + 10y) = -20 + 15$

$0 = -5$

Получено неверное числовое равенство. Это указывает на то, что система не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y = 2, \\ -\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = -1; \end{cases} $

Избавимся от дробей, умножив уравнения на подходящие числа. Первое уравнение умножим на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3), а второе — на 12 (наименьшее общее кратное для 4 и 3).

Первое уравнение: $6 \cdot (\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y) = 6 \cdot 2 \implies 3x - 4y = 12$.

Второе уравнение: $12 \cdot (-\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y) = 12 \cdot (-1) \implies -3x + 4y = -12$.

Получаем эквивалентную систему:

$ \begin{cases} 3x - 4y = 12, \\ -3x + 4y = -12; \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(3x - 4y) + (-3x + 4y) = 12 + (-12)$

$0 = 0$

Мы получили верное тождество $0 = 0$. Это означает, что уравнения линейно зависимы (одно является следствием другого, в данном случае второе уравнение равно первому, умноженному на -1). Система имеет бесконечное множество решений.

Выразим $y$ через $x$ из уравнения $3x - 4y = 12$:

$4y = 3x - 12$

$y = \frac{3x - 12}{4} = \frac{3}{4}x - 3$

Все решения системы можно записать в виде $(x, \frac{3}{4}x - 3)$, где $x$ — любое действительное число.

Ответ: Бесконечное множество решений вида $(x, \frac{3}{4}x - 3)$, где $x$ — любое действительное число.