Номер 84, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Линейные уравнения и системы уравнений. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 84, страница 228.

Условие.

84 Трое изобретателей получили за своё изобретение премию в размере 141 000 р., причём второй получил $33\frac{1}{3}\%$ того, что получил первый, и ещё 6000 р., а третий получил $33\frac{1}{3}\%$ того, что получил второй, и ещё 3000 р. Какую премию получил каждый?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для решения задачи обозначим сумму премии, полученную каждым из трех изобретателей, соответствующими переменными:

• $x$ — премия, полученная первым изобретателем (в рублях).
• $y$ — премия, полученная вторым изобретателем (в рублях).
• $z$ — премия, полученная третьим изобретателем (в рублях).

Общая сумма премии составляет 141 000 рублей. Это можно выразить уравнением:

$x + y + z = 141000$

Для удобства расчетов переведем проценты в обыкновенную дробь. Процент $33\frac{1}{3}\%$ равен одной трети:

$33\frac{1}{3}\% = \frac{100}{3}\% = \frac{100}{3 \cdot 100} = \frac{1}{3}$

Теперь составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Второй изобретатель получил $\frac{1}{3}$ от премии первого и ещё 6000 р.: $y = \frac{1}{3}x + 6000$
2. Третий изобретатель получил $\frac{1}{3}$ от премии второго и ещё 3000 р.: $z = \frac{1}{3}y + 3000$
3. Сумма всех премий: $x + y + z = 141000$

Решим эту систему методом подстановки. Сначала подставим выражение для $z$ из второго уравнения в третье:

$x + y + (\frac{1}{3}y + 3000) = 141000$

Упростим полученное уравнение, объединив слагаемые с $y$ и перенеся свободный член в правую часть:

$x + \frac{4}{3}y = 141000 - 3000$

$x + \frac{4}{3}y = 138000$

Теперь в это новое уравнение подставим выражение для $y$ из первого уравнения системы:

$x + \frac{4}{3}(\frac{1}{3}x + 6000) = 138000$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$x + \frac{4}{9}x + \frac{4}{3} \cdot 6000 = 138000$

$x + \frac{4}{9}x + 8000 = 138000$

$\frac{9}{9}x + \frac{4}{9}x = 138000 - 8000$

$\frac{13}{9}x = 130000$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{9}{13}$:

$x = 130000 \cdot \frac{9}{13}$

$x = 10000 \cdot 9 = 90000$

Таким образом, премия первого изобретателя составляет 90 000 рублей.

Зная премию первого, найдём премию второго изобретателя ($y$):

$y = \frac{1}{3}x + 6000 = \frac{1}{3} \cdot 90000 + 6000 = 30000 + 6000 = 36000$

Следовательно, премия второго изобретателя составляет 36 000 рублей.

Теперь вычислим премию третьего изобретателя ($z$):

$z = \frac{1}{3}y + 3000 = \frac{1}{3} \cdot 36000 + 3000 = 12000 + 3000 = 15000$

Итак, премия третьего изобретателя составляет 15 000 рублей.

Проведем проверку, сложив все три премии:

$90000 + 36000 + 15000 = 126000 + 15000 = 141000$

Общая сумма совпадает с указанной в условии, значит, задача решена верно.

Ответ: первый изобретатель получил 90 000 р., второй — 36 000 р., а третий — 15 000 р.