Номер 86, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Линейные уравнения и системы уравнений - номер 86, страница 228.

Условие.

86 Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

a) $ \begin{cases} 5x - y = 4, \\ -2x + y = 5; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x + 4y = -7, \\ x - 9y = 6; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x + 5y = 10, \\ 3x - 7y = 4; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3x - 4y = -5, \\ 6x + 4y = -1. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x - y = 4 \\ -2x + y = 5 \end{cases} $.

Метод алгебраического сложения заключается в том, чтобы сложить или вычесть уравнения системы так, чтобы одна из переменных сократилась. В данном случае коэффициенты при переменной $y$ равны $-1$ и $1$, они являются противоположными числами. Поэтому мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить $y$.

Сложим левые и правые части уравнений:

$(5x - y) + (-2x + y) = 4 + 5$

$5x - 2x - y + y = 9$

$3x = 9$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{9}{3}$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x=3$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:

$5(3) - y = 4$

$15 - y = 4$

$-y = 4 - 15$

$-y = -11$

$y = 11$

Решение системы: $(3; 11)$.

Ответ: $(3; 11)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 5y = 10 \\ 3x - 7y = 4 \end{cases} $.

В этой системе коэффициенты при переменной $x$ одинаковы. Чтобы исключить $x$, вычтем второе уравнение из первого.

$(3x + 5y) - (3x - 7y) = 10 - 4$

$3x + 5y - 3x + 7y = 6$

$12y = 6$

Найдем $y$:

$y = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим значение $y = \frac{1}{2}$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$3x + 5(\frac{1}{2}) = 10$

$3x + \frac{5}{2} = 10$

$3x = 10 - \frac{5}{2}$

$3x = \frac{20}{2} - \frac{5}{2}$

$3x = \frac{15}{2}$

$x = \frac{15}{2} \div 3 = \frac{15}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

Решение системы: $(\frac{5}{2}; \frac{1}{2})$.

Ответ: $(\frac{5}{2}; \frac{1}{2})$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 4y = -7 \\ x - 9y = 6 \end{cases} $.

Коэффициенты при $x$ равны, поэтому, чтобы исключить $x$, вычтем второе уравнение из первого.

$(x + 4y) - (x - 9y) = -7 - 6$

$x + 4y - x + 9y = -13$

$13y = -13$

Найдем $y$:

$y = \frac{-13}{13} = -1$

Подставим $y = -1$ в первое уравнение:

$x + 4(-1) = -7$

$x - 4 = -7$

$x = -7 + 4$

$x = -3$

Решение системы: $(-3; -1)$.

Ответ: $(-3; -1)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 4y = -5 \\ 6x + 4y = -1 \end{cases} $.

Коэффициенты при переменной $y$ ($-4$ и $4$) являются противоположными числами. Сложим уравнения, чтобы исключить $y$.

$(3x - 4y) + (6x + 4y) = -5 + (-1)$

$3x + 6x - 4y + 4y = -6$

$9x = -6$

Найдем $x$:

$x = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$

Подставим $x = -\frac{2}{3}$ во второе уравнение:

$6(-\frac{2}{3}) + 4y = -1$

$-4 + 4y = -1$

$4y = -1 + 4$

$4y = 3$

$y = \frac{3}{4}$

Решение системы: $(-\frac{2}{3}; \frac{3}{4})$.

Ответ: $(-\frac{2}{3}; \frac{3}{4})$.