Номер 92, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Линейные уравнения и системы уравнений - номер 92, страница 229.

Условие.

92 Из пунктов А и B, расстояние между которыми 360 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 2 ч 15 мин. Если бы первый автомобиль выехал на 24 мин раньше второго, то встреча произошла бы через 2 ч после выезда второго автомобиля. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого автомобиля, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго автомобиля. Расстояние между пунктами А и В составляет $S = 360$ км.

Рассмотрим первую ситуацию: автомобили выехали одновременно и встретились через 2 ч 15 мин. Переведем время встречи в часы для удобства расчетов: $t_1 = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 2.25 \text{ ч}$.

Когда автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. За время $t_1$ они вместе преодолевают все расстояние $S$. Составим первое уравнение: $(v_1 + v_2) \cdot t_1 = S$
$(v_1 + v_2) \cdot 2.25 = 360$

Из этого уравнения можно найти сумму скоростей: $v_1 + v_2 = \frac{360}{2.25} = \frac{360}{9/4} = 360 \cdot \frac{4}{9} = 40 \cdot 4 = 160$. Итак, первое уравнение системы: $v_1 + v_2 = 160$.

Рассмотрим вторую ситуацию: первый автомобиль выехал на 24 мин раньше второго, и встреча произошла через 2 ч после выезда второго автомобиля. Переведем 24 минуты в часы: $24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = 0.4 \text{ ч}$.

Время движения второго автомобиля до встречи составило $t_2 = 2$ ч. Поскольку первый автомобиль выехал на 0.4 ч раньше, его время в пути составило $t_{1,\text{общ}} = 2 + 0.4 = 2.4$ ч.

Расстояние, пройденное первым автомобилем, равно $S_1 = v_1 \cdot 2.4$. Расстояние, пройденное вторым автомобилем, равно $S_2 = v_2 \cdot 2$. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию между пунктами: $S_1 + S_2 = 360$. Составим второе уравнение: $2.4v_1 + 2v_2 = 360$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 160 \\ 2.4v_1 + 2v_2 = 360 \end{cases} $$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 160 - v_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $2.4v_1 + 2(160 - v_1) = 360$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_1$: $2.4v_1 + 320 - 2v_1 = 360$
$0.4v_1 = 360 - 320$
$0.4v_1 = 40$
$v_1 = \frac{40}{0.4} = \frac{400}{4} = 100$.

Скорость первого автомобиля равна 100 км/ч. Теперь найдем скорость второго автомобиля: $v_2 = 160 - v_1 = 160 - 100 = 60$.

Скорость второго автомобиля равна 60 км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля — 100 км/ч, скорость второго автомобиля — 60 км/ч.