Номер 96, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Линейные уравнения и системы уравнений - номер 96, страница 230.

Условие.

96 Ночью от берега, на котором был расположен лагерь туристов, унесло плот. Спустя 6,5 ч, утром, туристы на моторной лодке отправились за ним вдогонку и через 1,5 ч увидели плот на расстоянии 0,5 км впереди. Найдите скорость, с которой туристы догоняли плот, если в обратную сторону они на этой моторной лодке преодолели 20 км за 2,5 ч.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_л$ – собственная скорость моторной лодки (в км/ч), $v_т$ – скорость течения реки (в км/ч). Скорость плота равна скорости течения реки, так как у него нет собственного двигателя, то есть $v_{плота} = v_т$. Когда туристы догоняли плот, они двигались по течению, и их скорость была равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{по} = v_л + v_т$. На обратном пути туристы двигались против течения, и их скорость была равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{против} = v_л - v_т$.

1. Нахождение скорости лодки против течения

По условию, в обратную сторону (против течения) туристы преодолели 20 км за 2,5 часа. Следовательно, их скорость против течения равна:

$v_{против} = \frac{S}{t} = \frac{20 \text{ км}}{2.5 \text{ ч}} = 8 \text{ км/ч}$

Таким образом, мы получаем первое уравнение: $v_л - v_т = 8$.

2. Составление уравнения движения вдогонку

Плот плыл один в течение 6,5 часов, после чего туристы отправились за ним в погоню, которая длилась 1,5 часа. Следовательно, общее время движения плота к моменту, когда его заметили, составляет:

$t_{плота} = 6.5 \text{ ч} + 1.5 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

За это время плот проплыл расстояние: $S_{плота} = v_т \cdot t_{плота} = 8v_т$.

Лодка за 1,5 часа погони, двигаясь по течению со скоростью $v_л + v_т$, прошла расстояние: $S_{лодки} = (v_л + v_т) \cdot 1.5$.

По условию, в этот момент плот был впереди лодки на 0,5 км. Это означает, что расстояние, пройденное плотом, на 0,5 км больше расстояния, пройденного лодкой: $S_{плота} = S_{лодки} + 0.5$.

Подставив выражения для расстояний, получим второе уравнение: $8v_т = 1.5(v_л + v_т) + 0.5$.

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $v_л - v_т = 8$

2) $8v_т = 1.5(v_л + v_т) + 0.5$

Из первого уравнения выразим $v_л$: $v_л = 8 + v_т$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$8v_т = 1.5((8 + v_т) + v_т) + 0.5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_т$:

$8v_т = 1.5(8 + 2v_т) + 0.5$

$8v_т = 12 + 3v_т + 0.5$

$8v_т - 3v_т = 12.5$

$5v_т = 12.5$

$v_т = \frac{12.5}{5} = 2.5 \text{ км/ч}$

Таким образом, скорость течения реки (и плота) равна 2,5 км/ч.

4. Нахождение искомой скорости

В задаче требуется найти скорость, с которой туристы догоняли плот. Это и есть скорость лодки по течению, равная $v_{по} = v_л + v_т$.

Сначала найдем собственную скорость лодки $v_л$, используя первое уравнение и найденное значение $v_т$:

$v_л = 8 + v_т = 8 + 2.5 = 10.5 \text{ км/ч}$

Теперь можем вычислить скорость лодки по течению:

$v_{по} = v_л + v_т = 10.5 \text{ км/ч} + 2.5 \text{ км/ч} = 13 \text{ км/ч}$

Ответ: 13 км/ч.