Номер 101, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Линейные уравнения и системы уравнений - номер 101, страница 230.

Условие.

101 Двое рабочих изготовили вместе 1020 деталей. Первый работал 15 дней, а второй — 14 дней. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за один день, если первый за 3 дня изготавливал на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — производительность первого рабочего (количество деталей в день), а $y$ — производительность второго рабочего (количество деталей в день).

Первый рабочий работал 15 дней и изготовил $15x$ деталей. Второй рабочий работал 14 дней и изготовил $14y$ деталей. Вместе они изготовили 1020 деталей. Это дает нам первое уравнение:

$15x + 14y = 1020$

Известно, что первый рабочий за 3 дня ($3x$ деталей) изготовил на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня ($2y$ деталей). Это дает нам второе уравнение:

$3x = 2y + 60$

Перепишем второе уравнение в стандартном виде:

$3x - 2y = 60$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 15x + 14y = 1020 \\ 3x - 2y = 60 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод сложения. Для этого умножим второе уравнение на 7, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:

$7 \cdot (3x - 2y) = 7 \cdot 60$

$21x - 14y = 420$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(15x + 14y) + (21x - 14y) = 1020 + 420$

$36x = 1440$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{1440}{36} = 40$

Итак, производительность первого рабочего составляет 40 деталей в день.

Подставим найденное значение $x=40$ во второе исходное уравнение ($3x - 2y = 60$), чтобы найти $y$:

$3 \cdot 40 - 2y = 60$

$120 - 2y = 60$

$2y = 120 - 60$

$2y = 60$

$y = \frac{60}{2} = 30$

Следовательно, производительность второго рабочего составляет 30 деталей в день.

Проверим найденные значения.

1. Общее количество деталей: $15 \cdot 40 + 14 \cdot 30 = 600 + 420 = 1020$. Условие выполняется.

2. Разница в выработке: $3 \cdot 40 - 2 \cdot 30 = 120 - 60 = 60$. Условие выполняется.

Ответ: первый рабочий изготавливал 40 деталей в день, а второй — 30 деталей в день.