Номер 104, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Линейные уравнения и системы уравнений. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 104, страница 231.

Условие.

104 Сумма цифр заданного двузначного числа равна 7. Если к каждой цифре прибавить по 2, то получится число, меньшее удвоенного заданного числа на 3. Какое число задано?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Пусть заданное двузначное число можно представить в виде $10x + y$, где $x$ - это цифра десятков, а $y$ - цифра единиц. Согласно условиям задачи, $x \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $y \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Из первого условия, что сумма цифр равна 7, получаем первое уравнение:
$x + y = 7$

Далее, если к каждой цифре прибавить по 2, то новая цифра десятков станет $x+2$, а новая цифра единиц - $y+2$. Новое число будет равно $10(x+2) + (y+2)$.
Это новое число, по условию, на 3 меньше удвоенного заданного числа. Удвоенное заданное число равно $2(10x + y)$.
Составим второе уравнение:
$10(x+2) + (y+2) = 2(10x + y) - 3$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = 7 \\ 10(x+2) + (y+2) = 2(10x + y) - 3 \end{cases}$

Упростим второе уравнение системы:
$10x + 20 + y + 2 = 20x + 2y - 3$
$10x + y + 22 = 20x + 2y - 3$
Соберем переменные в правой части, а константы — в левой:
$22 + 3 = 20x - 10x + 2y - y$
$25 = 10x + y$

Теперь наша система уравнений выглядит проще:
$\begin{cases} x + y = 7 \\ 10x + y = 25 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно вычесть первое уравнение из второго:
$(10x + y) - (x + y) = 25 - 7$
$10x + y - x - y = 18$
$9x = 18$
$x = \frac{18}{9}$
$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=2$ в первое уравнение:
$2 + y = 7$
$y = 7 - 2$
$y = 5$

Таким образом, цифра десятков искомого числа равна 2, а цифра единиц — 5. Искомое число — 25.

Проверка:
1. Сумма цифр числа 25: $2 + 5 = 7$. (Верно)
2. Прибавляем к каждой цифре 2: новые цифры 4 и 7, новое число 47.
3. Удвоенное исходное число: $2 \cdot 25 = 50$.
4. Удвоенное число минус 3: $50 - 3 = 47$.
Полученное число (47) совпадает с результатом вычислений (47). Все условия задачи выполнены.

Ответ: 25.