Номер 109, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 109, страница 231.

Условие.

109 a) $\frac{4^3 \cdot (2^5)^2}{8^5}$;

б) $\frac{6^4 \cdot 3^5}{9^4 \cdot 2^3}$;

в) $\frac{27^6}{9^2 \cdot (3^4)^3}$;

г) $\frac{10^3 \cdot (2^2)^5}{5^3 \cdot 8^2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) $\frac{4^3 \cdot (2^5)^2}{8^5}$

Для решения данного примера необходимо привести все основания степеней к одному числу, в данном случае это 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(2^2)^3 \cdot (2^5)^2}{(2^3)^5}$

Далее воспользуемся свойством степени «возведение степени в степень», согласно которому показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{5 \cdot 2}}{2^{3 \cdot 5}} = \frac{2^6 \cdot 2^{10}}{2^{15}}$

Теперь применим свойство «умножение степеней с одинаковым основанием», по которому показатели степеней складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$\frac{2^{6+10}}{2^{15}} = \frac{2^{16}}{2^{15}}$

Наконец, используем свойство «деление степеней с одинаковым основанием», по которому показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$2^{16-15} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

б) $\frac{6^4 \cdot 3^5}{9^4 \cdot 2^3}$

Для упрощения выражения разложим составные основания 6 и 9 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$ и $9 = 3^2$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(2 \cdot 3)^4 \cdot 3^5}{(3^2)^4 \cdot 2^3}$

Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^4 \cdot 3^4 \cdot 3^5}{3^{2 \cdot 4} \cdot 2^3} = \frac{2^4 \cdot 3^4 \cdot 3^5}{3^8 \cdot 2^3}$

В числителе сложим показатели степеней с основанием 3 ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$\frac{2^4 \cdot 3^{4+5}}{3^8 \cdot 2^3} = \frac{2^4 \cdot 3^9}{3^8 \cdot 2^3}$

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним деление, вычитая показатели ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{2^4}{2^3} \cdot \frac{3^9}{3^8} = 2^{4-3} \cdot 3^{9-8} = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

в) $\frac{27^6}{9^2 \cdot (3^4)^3}$

Приведем все основания к общему основанию 3. Известно, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(3^3)^6}{(3^2)^2 \cdot (3^4)^3}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для всех частей выражения:

$\frac{3^{3 \cdot 6}}{3^{2 \cdot 2} \cdot 3^{4 \cdot 3}} = \frac{3^{18}}{3^4 \cdot 3^{12}}$

В знаменателе перемножим степени, сложив их показатели ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$\frac{3^{18}}{3^{4+12}} = \frac{3^{18}}{3^{16}}$

При делении степеней вычтем их показатели ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$3^{18-16} = 3^2 = 9$

Ответ: 9

г) $\frac{10^3 \cdot (2^2)^5}{5^3 \cdot 8^2}$

Разложим основания 10 и 8 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$ и $8 = 2^3$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(2 \cdot 5)^3 \cdot (2^2)^5}{5^3 \cdot (2^3)^2}$

Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{2 \cdot 5}}{5^3 \cdot 2^{3 \cdot 2}} = \frac{2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^{10}}{5^3 \cdot 2^6}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правила умножения и деления степеней:

$\frac{2^3 \cdot 2^{10}}{2^6} \cdot \frac{5^3}{5^3} = \frac{2^{3+10}}{2^6} \cdot 5^{3-3} = \frac{2^{13}}{2^6} \cdot 5^0$

Любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$). При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$2^{13-6} \cdot 1 = 2^7$

Осталось вычислить значение:

$2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$

Ответ: 128