Номер 116, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 116, страница 232.

Условие.

116 a) Представьте число 100 в виде произведения квадратов двух натуральных чисел.

б) Представьте число 216 в виде произведения кубов двух натуральных чисел.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

а) Чтобы представить число 100 в виде произведения квадратов двух натуральных чисел, нужно найти два натуральных числа, например, $a$ и $b$, для которых выполняется равенство $100 = a^2 \cdot b^2$.

Для этого можно разложить число 100 на простые множители. Каждый множитель, встречающийся в разложении четное число раз, можно представить в виде квадрата.

Разложим 100 на множители: $100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$.

Сгруппируем одинаковые множители:

$100 = (2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.

Таким образом, число 100 представлено как произведение квадрата числа 2 и квадрата числа 5. Числа 2 и 5 являются натуральными.

Другой возможный вариант, используя свойство степеней $a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2$:

$100 = 10^2$. Мы можем представить 10 как произведение двух натуральных чисел, например, $10 = 1 \cdot 10$. Тогда $100 = (1 \cdot 10)^2 = 1^2 \cdot 10^2$. Здесь натуральные числа — 1 и 10.

Ответ: $100 = 2^2 \cdot 5^2$ (или $100 = 1^2 \cdot 10^2$).

б) Чтобы представить число 216 в виде произведения кубов двух натуральных чисел, нужно найти два натуральных числа, например, $c$ и $d$, для которых выполняется равенство $216 = c^3 \cdot d^3$.

Разложим число 216 на простые множители. Каждый множитель, встречающийся в разложении число раз, кратное трем, можно представить в виде куба.

Разложим 216 на множители:

$216 = 2 \cdot 108 = 2 \cdot 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.

Сгруппируем одинаковые множители:

$216 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^3$.

Таким образом, число 216 представлено как произведение куба числа 2 и куба числа 3. Числа 2 и 3 являются натуральными.

Также можно заметить, что $216 = 6^3$. Представим 6 как произведение натуральных чисел $6 = 1 \cdot 6$. Тогда $216 = (1 \cdot 6)^3 = 1^3 \cdot 6^3$. Здесь натуральные числа — 1 и 6.

Ответ: $216 = 2^3 \cdot 3^3$ (или $216 = 1^3 \cdot 6^3$).