Номер 112, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 112, страница 231.

Условие.

112 a) $\frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{9^9}$;

б) $\frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}$;

в) $\frac{108 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6}{216^3 - 36^4}$;

г) $\frac{(3^{15} + 3^{13}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

a) $\frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{9^9}$

Для решения данного выражения, сначала упростим числитель и знаменатель.

1. Упрощение числителя: $2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}$.

Вынесем общий множитель $3^{19}$ за скобки. Для этого представим $3^{20}$ как $3 \cdot 3^{19}$.

$2 \cdot (3 \cdot 3^{19}) - 5 \cdot 3^{19} = 3^{19} \cdot (2 \cdot 3 - 5) = 3^{19} \cdot (6 - 5) = 3^{19} \cdot 1 = 3^{19}$.

2. Упрощение знаменателя: $9^9$.

Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

$9^9 = (3^2)^9$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $3^{2 \cdot 9} = 3^{18}$.

3. Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{3^{19}}{3^{18}}$. По свойству частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем $3^{19-18} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

б) $\frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}$

Упростим выражение по частям.

1. Упростим выражение в скобках в числителе: $3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}$.

Вынесем общий множитель $2^{19}$ за скобки. Представим $2^{20}$ как $2 \cdot 2^{19}$.

$3 \cdot (2 \cdot 2^{19}) + 7 \cdot 2^{19} = 2^{19} \cdot (3 \cdot 2 + 7) = 2^{19} \cdot (6 + 7) = 2^{19} \cdot 13$.

Теперь весь числитель выглядит так: $(2^{19} \cdot 13) \cdot 52$. Разложим 52 на множители: $52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$.

Числитель: $2^{19} \cdot 13 \cdot 2^2 \cdot 13 = 13^2 \cdot 2^{19+2} = 13^2 \cdot 2^{21}$.

2. Упростим знаменатель: $(13 \cdot 8^4)^2$.

Представим 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$. Тогда $8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$.

Выражение в скобках: $13 \cdot 2^{12}$.

Возведем в квадрат: $(13 \cdot 2^{12})^2 = 13^2 \cdot (2^{12})^2 = 13^2 \cdot 2^{24}$.

3. Разделим упрощенный числитель на знаменатель:

$\frac{13^2 \cdot 2^{21}}{13^2 \cdot 2^{24}} = \frac{2^{21}}{2^{24}} = 2^{21-24} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

в) $\frac{108 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6}{216^3 - 36^4}$

1. Упростим числитель. Вынесем общий множитель $108 \cdot 6^6$ за скобки:

$108 \cdot 6^6 \cdot (6^1 - 1) = 108 \cdot 6^6 \cdot 5$.

2. Упростим знаменатель. Представим 216 и 36 как степени числа 6:

$216 = 6^3$ и $36 = 6^2$.

Знаменатель: $(6^3)^3 - (6^2)^4 = 6^9 - 6^8$.

Вынесем общий множитель $6^8$ за скобки: $6^8 \cdot (6^1 - 1) = 6^8 \cdot 5$.

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{108 \cdot 6^6 \cdot 5}{6^8 \cdot 5}$. Сократим на 5:

$\frac{108 \cdot 6^6}{6^8} = \frac{108}{6^{8-6}} = \frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3$.

Ответ: 3

г) $\frac{(3^{15} + 3^{13}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}$

1. Упростим выражение в скобках в числителе: $3^{15} + 3^{13}$.

Вынесем общий множитель $3^{13}$ за скобки: $3^{13} \cdot (3^2 + 1) = 3^{13} \cdot (9 + 1) = 3^{13} \cdot 10$.

Весь числитель: $3^{13} \cdot 10 \cdot 2^9$.

2. Упростим выражение в скобках в знаменателе: $3^{14} + 3^{12}$.

Вынесем общий множитель $3^{12}$ за скобки: $3^{12} \cdot (3^2 + 1) = 3^{12} \cdot (9 + 1) = 3^{12} \cdot 10$.

Представим 1024 как степень числа 2: $1024 = 2^{10}$.

Весь знаменатель: $3^{12} \cdot 10 \cdot 2^{10}$.

3. Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{3^{13} \cdot 10 \cdot 2^9}{3^{12} \cdot 10 \cdot 2^{10}}$. Сократим на 10:

$\frac{3^{13} \cdot 2^9}{3^{12} \cdot 2^{10}} = \frac{3^{13}}{3^{12}} \cdot \frac{2^9}{2^{10}} = 3^{13-12} \cdot 2^{9-10} = 3^1 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$