Номер 111, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 111, страница 231.

Условие.

111 a) $\frac{25^3 \cdot 14^2}{49 \cdot 10^6}$

б) $\frac{12^2 \cdot 35^3}{28^2 \cdot 15^4}$

в) $\frac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3}$

г) $\frac{22^4 \cdot 3^3}{6^2 \cdot 121^2}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{25^3 \cdot 14^2}{49 \cdot 10^6}$, разложим каждое число в основании степени на простые множители:

$25 = 5^2$

$14 = 2 \cdot 7$

$49 = 7^2$

$10 = 2 \cdot 5$

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$\frac{(5^2)^3 \cdot (2 \cdot 7)^2}{7^2 \cdot (2 \cdot 5)^6}$

Теперь применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:

$\frac{5^{2 \cdot 3} \cdot 2^2 \cdot 7^2}{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6} = \frac{5^6 \cdot 2^2 \cdot 7^2}{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6}$

Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{6-6} \cdot 2^{2-6} \cdot 7^{2-2} = 5^0 \cdot 2^{-4} \cdot 7^0$

Так как любое число в нулевой степени равно 1, а $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$1 \cdot \frac{1}{2^4} \cdot 1 = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

б)

Упростим выражение $\frac{12^2 \cdot 35^3}{28^2 \cdot 15^4}$. Разложим числа на простые множители:

$12 = 2^2 \cdot 3$

$35 = 5 \cdot 7$

$28 = 2^2 \cdot 7$

$15 = 3 \cdot 5$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2^2 \cdot 3)^2 \cdot (5 \cdot 7)^3}{(2^2 \cdot 7)^2 \cdot (3 \cdot 5)^4}$

Применим свойства степеней:

$\frac{(2^2)^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{(2^2)^2 \cdot 7^2 \cdot 3^4 \cdot 5^4} = \frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{2^4 \cdot 7^2 \cdot 3^4 \cdot 5^4}$

Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^4}{2^4} \cdot \frac{3^2}{3^4} \cdot \frac{5^3}{5^4} \cdot \frac{7^3}{7^2} = 2^{4-4} \cdot 3^{2-4} \cdot 5^{3-4} \cdot 7^{3-2} = 2^0 \cdot 3^{-2} \cdot 5^{-1} \cdot 7^1$

Вычислим итоговое значение:

$1 \cdot \frac{1}{3^2} \cdot \frac{1}{5} \cdot 7 = \frac{7}{9 \cdot 5} = \frac{7}{45}$

Ответ: $\frac{7}{45}$

в)

Упростим выражение $\frac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3}$. Разложим числа на простые множители:

$36 = 2^2 \cdot 3^2$

$15 = 3 \cdot 5$

$18 = 2 \cdot 3^2$

$10 = 2 \cdot 5$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2^2 \cdot 3^2)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(2 \cdot 3^2)^4 \cdot (2 \cdot 5)^3}$

Применим свойства степеней:

$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^{2 \cdot 3} \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^{2 \cdot 4} \cdot 2^3 \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 2^3 \cdot 5^3}$

Соберем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^6 \cdot 3^{6+2} \cdot 5^2}{2^{4+3} \cdot 3^8 \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^8 \cdot 5^2}{2^7 \cdot 3^8 \cdot 5^3}$

Сократим дроби:

$2^{6-7} \cdot 3^{8-8} \cdot 5^{2-3} = 2^{-1} \cdot 3^0 \cdot 5^{-1}$

Вычислим результат:

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

г)

Упростим выражение $\frac{22^4 \cdot 3^3}{6^2 \cdot 121^2}$. Разложим числа на простые множители:

$22 = 2 \cdot 11$

$6 = 2 \cdot 3$

$121 = 11^2$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2 \cdot 11)^4 \cdot 3^3}{(2 \cdot 3)^2 \cdot (11^2)^2}$

Применим свойства степеней:

$\frac{2^4 \cdot 11^4 \cdot 3^3}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^{2 \cdot 2}} = \frac{2^4 \cdot 11^4 \cdot 3^3}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^4}$

Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^4}{2^2} \cdot \frac{3^3}{3^2} \cdot \frac{11^4}{11^4} = 2^{4-2} \cdot 3^{3-2} \cdot 11^{4-4} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 11^0$

Вычислим результат:

$4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$

Ответ: $12$