Номер 105, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Линейные уравнения и системы уравнений - номер 105, страница 231.

Условие.

105 Когда каждую из сторон прямоугольника увеличили на $2 \text{ см}$, оказалось, что площадь прямоугольника увеличилась на $16 \text{ см}^2$. Найдите стороны заданного прямоугольника, если известно, что они выражаются целыми числами (в сантиметрах).

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ см и $b$ см. Согласно условию, $a$ и $b$ — целые положительные числа. Площадь исходного прямоугольника $S_1$ вычисляется по формуле:

$S_1 = a \cdot b$

Каждую сторону прямоугольника увеличили на 2 см. Новые стороны стали равны $(a + 2)$ см и $(b + 2)$ см. Площадь нового прямоугольника $S_2$ равна:

$S_2 = (a + 2)(b + 2)$

По условию задачи, площадь увеличилась на 16 см², то есть разница между новой и старой площадью составляет 16 см²:

$S_2 - S_1 = 16$

Подставим в это уравнение выражения для $S_1$ и $S_2$:

$(a + 2)(b + 2) - a \cdot b = 16$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$a \cdot b + 2a + 2b + 4 - a \cdot b = 16$

$2a + 2b + 4 = 16$

Перенесем 4 в правую часть уравнения:

$2a + 2b = 16 - 4$

$2a + 2b = 12$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a + b = 6$

Теперь нам нужно найти все пары целых положительных чисел ($a > 0$, $b > 0$), сумма которых равна 6. Поскольку порядок сторон в прямоугольнике не важен (прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ — это тот же прямоугольник, что и со сторонами $b$ и $a$), рассмотрим следующие варианты:

• Если $a = 1$ см, то $b = 6 - 1 = 5$ см.
• Если $a = 2$ см, то $b = 6 - 2 = 4$ см.
• Если $a = 3$ см, то $b = 6 - 3 = 3$ см. (в этом случае прямоугольник является квадратом).

Проверим найденные пары:

1. Стороны 1 см и 5 см: $S_1 = 1 \cdot 5 = 5$ см². Новые стороны: $1+2=3$ см и $5+2=7$ см. $S_2 = 3 \cdot 7 = 21$ см². Увеличение площади: $21 - 5 = 16$ см². Верно.
2. Стороны 2 см и 4 см: $S_1 = 2 \cdot 4 = 8$ см². Новые стороны: $2+2=4$ см и $4+2=6$ см. $S_2 = 4 \cdot 6 = 24$ см². Увеличение площади: $24 - 8 = 16$ см². Верно.
3. Стороны 3 см и 3 см: $S_1 = 3 \cdot 3 = 9$ см². Новые стороны: $3+2=5$ см и $3+2=5$ см. $S_2 = 5 \cdot 5 = 25$ см². Увеличение площади: $25 - 9 = 16$ см². Верно.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют три пары сторон.

Ответ: Стороны заданного прямоугольника могут быть 1 см и 5 см, или 2 см и 4 см, или 3 см и 3 см.