Номер 102, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Линейные уравнения и системы уравнений. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 102, страница 230.

Условие.

102 При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 3. Найдите это число, если известно, что при перестановке его цифр получается число, меньшее искомого на 36.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно условиям, $a$ является натуральным числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9. Сумма цифр этого числа равна $a + b$.

Исходя из первого условия задачи, "при делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 3", мы можем составить первое уравнение. Используем формулу деления с остатком: Делимое = Делитель × Частное + Остаток.
$10a + b = 7 \cdot (a + b) + 3$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$10a + b = 7a + 7b + 3$
$10a - 7a = 7b - b + 3$
$3a = 6b + 3$
Разделив обе части уравнения на 3, получим:
$a = 2b + 1$

Из второго условия, "при перестановке его цифр получается число, меньшее искомого на 36", составим второе уравнение. Число, полученное перестановкой цифр, равно $10b + a$.
$(10a + b) - (10b + a) = 36$
Раскроем скобки:
$10a + b - 10b - a = 36$
$9a - 9b = 36$
Разделив обе части уравнения на 9, получим:
$a - b = 4$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a = 2b + 1 \\ a - b = 4 \end{cases}$
Для решения системы подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:
$(2b + 1) - b = 4$
$b + 1 = 4$
$b = 4 - 1$
$b = 3$

Теперь, зная значение $b$, найдем $a$, подставив $b=3$ в любое из уравнений. Например, в $a = 2b + 1$:
$a = 2 \cdot 3 + 1$
$a = 6 + 1$
$a = 7$

Таким образом, цифра десятков $a = 7$, а цифра единиц $b = 3$. Искомое число — 73.

Выполним проверку:
1. Сумма цифр: $7 + 3 = 10$. Делим число на сумму цифр: $73 \div 10 = 7$ (остаток 3). Условие выполняется.
2. Число с переставленными цифрами: 37. Разница: $73 - 37 = 36$. Условие выполняется.

Ответ: 73