Страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

114 Представьте число 256 в виде:

а) квадрата натурального числа;

б) четвёртой степени натурального числа.

а) квадрата натурального числа;
Чтобы представить число 256 в виде квадрата натурального числа, необходимо найти такое натуральное число x, для которого выполняется равенство $x^2 = 256$. Это равносильно нахождению квадратного корня из 256.
Для решения задачи разложим число 256 на простые множители. Число 256 является степенью двойки:
$256 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, мы можем представить $2^8$ в виде квадрата (второй степени):
$2^8 = (2^{8/2})^2 = (2^4)^2$.
Теперь вычислим значение основания степени, то есть число в скобках:
$2^4 = 16$.
Следовательно, искомое представление числа 256 в виде квадрата натурального числа — это $16^2$.
Ответ: $256 = 16^2$.

б) четвёртой степени натурального числа.
Чтобы представить число 256 в виде четвёртой степени натурального числа, необходимо найти такое натуральное число y, что $y^4 = 256$. Это равносильно нахождению корня четвёртой степени из 256.
Воспользуемся разложением числа 256 на простые множители, которое мы получили в предыдущем пункте: $256 = 2^8$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, представим $2^8$ в виде четвёртой степени:
$2^8 = (2^{8/4})^4 = (2^2)^4$.
Теперь вычислим значение основания степени:
$2^2 = 4$.
Следовательно, искомое представление числа 256 в виде четвёртой степени натурального числа — это $4^4$.
Ответ: $256 = 4^4$.

115 Представьте число 729 в виде:

а) куба натурального числа;

б) квадрата натурального числа.

а) Чтобы представить число 729 в виде куба натурального числа, необходимо найти такое натуральное число $x$, что $x^3 = 729$. Для этого можно разложить число 729 на простые множители. Так как сумма цифр числа ($7+2+9=18$) делится на 3, то и само число делится на 3. Выполним разложение:

$729 = 3 \times 243$

$243 = 3 \times 81$

$81 = 3 \times 27$

$27 = 3 \times 9$

$9 = 3 \times 3$

Таким образом, $729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$.

Теперь, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, представим $3^6$ в виде куба некоторого числа:

$729 = 3^6 = 3^{2 \cdot 3} = (3^2)^3 = 9^3$.

Следовательно, число 729 является кубом натурального числа 9.

Ответ: $729 = 9^3$.

б) Чтобы представить число 729 в виде квадрата натурального числа, необходимо найти такое натуральное число $y$, что $y^2 = 729$. Воспользуемся уже найденным разложением на простые множители: $729 = 3^6$.

Используя то же свойство степени, представим $3^6$ в виде квадрата:

$729 = 3^6 = 3^{3 \cdot 2} = (3^3)^2 = 27^2$.

Следовательно, число 729 является квадратом натурального числа 27.

Ответ: $729 = 27^2$.

116 a) Представьте число 100 в виде произведения квадратов двух натуральных чисел.

б) Представьте число 216 в виде произведения кубов двух натуральных чисел.

а) Чтобы представить число 100 в виде произведения квадратов двух натуральных чисел, нужно найти два натуральных числа, например, $a$ и $b$, для которых выполняется равенство $100 = a^2 \cdot b^2$.

Для этого можно разложить число 100 на простые множители. Каждый множитель, встречающийся в разложении четное число раз, можно представить в виде квадрата.

Разложим 100 на множители: $100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$.

Сгруппируем одинаковые множители:

$100 = (2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.

Таким образом, число 100 представлено как произведение квадрата числа 2 и квадрата числа 5. Числа 2 и 5 являются натуральными.

Другой возможный вариант, используя свойство степеней $a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2$:

$100 = 10^2$. Мы можем представить 10 как произведение двух натуральных чисел, например, $10 = 1 \cdot 10$. Тогда $100 = (1 \cdot 10)^2 = 1^2 \cdot 10^2$. Здесь натуральные числа — 1 и 10.

Ответ: $100 = 2^2 \cdot 5^2$ (или $100 = 1^2 \cdot 10^2$).

б) Чтобы представить число 216 в виде произведения кубов двух натуральных чисел, нужно найти два натуральных числа, например, $c$ и $d$, для которых выполняется равенство $216 = c^3 \cdot d^3$.

Разложим число 216 на простые множители. Каждый множитель, встречающийся в разложении число раз, кратное трем, можно представить в виде куба.

Разложим 216 на множители:

$216 = 2 \cdot 108 = 2 \cdot 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.

Сгруппируем одинаковые множители:

$216 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^3$.

Таким образом, число 216 представлено как произведение куба числа 2 и куба числа 3. Числа 2 и 3 являются натуральными.

Также можно заметить, что $216 = 6^3$. Представим 6 как произведение натуральных чисел $6 = 1 \cdot 6$. Тогда $216 = (1 \cdot 6)^3 = 1^3 \cdot 6^3$. Здесь натуральные числа — 1 и 6.

Ответ: $216 = 2^3 \cdot 3^3$ (или $216 = 1^3 \cdot 6^3$).

Упростите выражение:

117 а) $a^3b^5 \cdot a^4b^7$;

б) $c^4d^7 \cdot c^8d^3$;

в) $m^9n^2 \cdot n^5m^3$;

г) $p^2q^7 \cdot p^3q^6$.

а) Для того чтобы упростить выражение $a^3b^5 \cdot a^4b^7$, мы используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней их показатели складываются.
Сначала сгруппируем множители с одинаковыми основаниями $a$ и $b$:
$(a^3 \cdot a^4) \cdot (b^5 \cdot b^7)$
Теперь применим правило сложения показателей для каждой группы:
Для основания $a$: $a^3 \cdot a^4 = a^{3+4} = a^7$.
Для основания $b$: $b^5 \cdot b^7 = b^{5+7} = b^{12}$.
Объединив результаты, получаем итоговое выражение.
Ответ: $a^7b^{12}$

б) Упростим выражение $c^4d^7 \cdot c^8d^3$, используя то же самое свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$).
Сгруппируем множители по основаниям $c$ и $d$:
$(c^4 \cdot c^8) \cdot (d^7 \cdot d^3)$
Сложим показатели для каждого основания:
Для основания $c$: $c^4 \cdot c^8 = c^{4+8} = c^{12}$.
Для основания $d$: $d^7 \cdot d^3 = d^{7+3} = d^{10}$.
Результатом будет произведение полученных степеней.
Ответ: $c^{12}d^{10}$

в) Рассмотрим выражение $m^9n^2 \cdot n^5m^3$. Благодаря коммутативному (переместительному) свойству умножения, мы можем изменить порядок множителей, чтобы сгруппировать степени с одинаковыми основаниями:
$m^9n^2 \cdot n^5m^3 = (m^9 \cdot m^3) \cdot (n^2 \cdot n^5)$
Теперь, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, сложим показатели для каждого основания:
Для основания $m$: $m^9 \cdot m^3 = m^{9+3} = m^{12}$.
Для основания $n$: $n^2 \cdot n^5 = n^{2+5} = n^7$.
Получаем упрощенное выражение.
Ответ: $m^{12}n^7$

г) Упростим выражение $p^2q^7 \cdot p^3q^6$. Сначала сгруппируем множители с одинаковыми основаниями $p$ и $q$, используя переместительное свойство умножения:
$(p^2 \cdot p^3) \cdot (q^7 \cdot q^6)$
Далее применим свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для каждой пары:
Для основания $p$: $p^2 \cdot p^3 = p^{2+3} = p^5$.
Для основания $q$: $q^7 \cdot q^6 = q^{7+6} = q^{13}$.
Объединяем полученные результаты.
Ответ: $p^5q^{13}$

118 a) $ (z^2)^4 $;

б) $ (a^6)^2 $;

В) $ (x^5)^6 $;

Г) $ (d^3)^3 $.

а) Для того чтобы упростить выражение $(z^2)^4$, необходимо воспользоваться свойством возведения степени в степень. Согласно этому свойству, при возведении степени в степень основание остаётся тем же, а показатели степеней перемножаются. Это свойство можно записать в виде формулы: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В данном выражении основанием является $z$, внутренний показатель степени $m=2$, а внешний показатель степени $n=4$.

Применим формулу, перемножив показатели:

$(z^2)^4 = z^{2 \cdot 4} = z^8$

Ответ: $z^8$

б) Упростим выражение $(a^6)^2$. Используем то же свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Здесь основание равно $a$, внутренний показатель степени $m=6$, а внешний — $n=2$.

Выполним умножение показателей степеней:

$(a^6)^2 = a^{6 \cdot 2} = a^{12}$

Ответ: $a^{12}$

в) Рассмотрим выражение $(x^5)^6$. Для его упрощения снова применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В данном случае основание — это $x$, внутренний показатель $m=5$, а внешний показатель $n=6$.

Перемножим показатели:

$(x^5)^6 = x^{5 \cdot 6} = x^{30}$

Ответ: $x^{30}$

г) Упростим выражение $(d^3)^3$. Вновь используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Основание здесь $d$, внутренний показатель $m=3$, и внешний показатель также $n=3$.

Перемножим показатели степеней:

$(d^3)^3 = d^{3 \cdot 3} = d^9$

Ответ: $d^9$

119 a) $(a^3)^2 \cdot a^5;$

б) $(d^4)^3 \cdot d^2;$

в) $(f^6)^2 \cdot f^4;$

г) $(x^4)^4 \cdot x^3.$

а) Для того чтобы упростить выражение $(a^3)^2 \cdot a^5$, необходимо последовательно применить два свойства работы со степенями. Первое свойство — возведение степени в степень, которое описывается формулой $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к первому множителю:

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.

Теперь исходное выражение можно записать как $a^6 \cdot a^5$. Второе свойство — умножение степеней с одинаковым основанием, которое описывается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применим его:

$a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11}$.

Ответ: $a^{11}$

б) Для упрощения выражения $(d^4)^3 \cdot d^{25}$ воспользуемся теми же свойствами степеней. Сначала возведем в степень первый множитель по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(d^4)^3 = d^{4 \cdot 3} = d^{12}$.

Далее, умножим полученный результат на второй множитель по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$d^{12} \cdot d^{25} = d^{12+25} = d^{37}$.

Ответ: $d^{37}$

в) Рассмотрим выражение $(f^6)^2 \cdot f^4$. Первым шагом выполним возведение степени в степень для $(f^6)^2$, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(f^6)^2 = f^{6 \cdot 2} = f^{12}$.

Вторым шагом выполним умножение степеней с одинаковым основанием $f$ по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$f^{12} \cdot f^4 = f^{12+4} = f^{16}$.

Ответ: $f^{16}$

г) Упростим выражение $(x^4)^4 \cdot x^3$. Сначала применяем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к первому множителю:

$(x^4)^4 = x^{4 \cdot 4} = x^{16}$.

Затем применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{16} \cdot x^3 = x^{16+3} = x^{19}$.

Ответ: $x^{19}$

120 a) $(x^3y^2)^2 \cdot y^5 \cdot x^4;$

Б) $s^5(t^4)^3 \cdot (s^4)^6t^2;$

В) $(k^5)^3l^7 \cdot k^4 \cdot (l^2)^8;$

Г) $a^3b^5 \cdot (b^2)^7a^4.$

а) $(x^3y^2)^2 \cdot y^5 \cdot x^4$

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами степеней.

1. Сначала раскроем скобки, используя свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^3y^2)^2 = (x^3)^2 \cdot (y^2)^2 = x^{3 \cdot 2} \cdot y^{2 \cdot 2} = x^6y^4$.

2. Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$x^6y^4 \cdot y^5 \cdot x^4$.

3. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(x^6 \cdot x^4) \cdot (y^4 \cdot y^5)$.

4. Применим свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{6+4} \cdot y^{4+5} = x^{10}y^9$.

Ответ: $x^{10}y^9$.

б) $s^5(t^4)^3 \cdot (s^4)^6t^2$

1. Раскроем скобки, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(t^4)^3 = t^{4 \cdot 3} = t^{12}$

$(s^4)^6 = s^{4 \cdot 6} = s^{24}$

2. Подставим полученные выражения в исходное:

$s^5 \cdot t^{12} \cdot s^{24} \cdot t^2$.

3. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(s^5 \cdot s^{24}) \cdot (t^{12} \cdot t^2)$.

4. Применим свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$s^{5+24} \cdot t^{12+2} = s^{29}t^{14}$.

Ответ: $s^{29}t^{14}$.

в) $(k^5)^3l^7 \cdot k^4 \cdot (l^2)^8$

1. Раскроем скобки, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(k^5)^3 = k^{5 \cdot 3} = k^{15}$

$(l^2)^8 = l^{2 \cdot 8} = l^{16}$

2. Подставим полученные выражения в исходное:

$k^{15}l^7 \cdot k^4 \cdot l^{16}$.

3. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(k^{15} \cdot k^4) \cdot (l^7 \cdot l^{16})$.

4. Применим свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$k^{15+4} \cdot l^{7+16} = k^{19}l^{23}$.

Ответ: $k^{19}l^{23}$.

г) $a^3b^5 \cdot (b^2)^7a^4$

1. Раскроем скобки, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(b^2)^7 = b^{2 \cdot 7} = b^{14}$.

2. Подставим полученное выражение в исходное:

$a^3b^5 \cdot b^{14}a^4$.

3. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(a^3 \cdot a^4) \cdot (b^5 \cdot b^{14})$.

4. Применим свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^{3+4} \cdot b^{5+14} = a^7b^{19}$.

Ответ: $a^7b^{19}$.

121 a) $(2x^2)^3 \cdot (2x^3)^5$;

б) $(25y^4)^3 : (-5y^5)^2$;

В) $(3y^3)^4 \cdot (-3y^4)^2$;

Г) $(16x^2)^4 : (8x)^5.

а)

Чтобы упростить выражение $(2x^2)^3 \cdot (2x^3)^5$, воспользуемся свойствами степеней.

1. Сначала раскроем скобки. При возведении произведения в степень, каждый множитель возводится в эту степень $(ab)^n = a^n b^n$. При возведении степени в степень их показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8 \cdot x^{2 \cdot 3} = 8x^6$
$(2x^3)^5 = 2^5 \cdot (x^3)^5 = 32 \cdot x^{3 \cdot 5} = 32x^{15}$

2. Теперь перемножим полученные выражения:
$8x^6 \cdot 32x^{15}$

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$(8 \cdot 32) \cdot (x^6 \cdot x^{15}) = 256 \cdot x^{6+15} = 256x^{21}$

Ответ: $256x^{21}$

б)

Чтобы упростить выражение $(25y^4)^3 : (-5y^5)^2$, применим свойства степеней.

1. Возведем в степень каждый из одночленов:
$(25y^4)^3 = 25^3 \cdot (y^4)^3 = 15625 \cdot y^{4 \cdot 3} = 15625y^{12}$
$(-5y^5)^2 = (-5)^2 \cdot (y^5)^2 = 25 \cdot y^{5 \cdot 2} = 25y^{10}$ (Обратите внимание, что отрицательное число в четной степени становится положительным).

2. Теперь выполним деление:
$15625y^{12} : (25y^{10})$

3. При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$(15625 : 25) \cdot (y^{12} : y^{10}) = 625 \cdot y^{12-10} = 625y^2$

Ответ: $625y^2$

в)

Чтобы упростить выражение $(3y^3)^4 \cdot (-3y^4)^2$, используем свойства степеней.

1. Возведем в степень каждый из одночленов:
$(3y^3)^4 = 3^4 \cdot (y^3)^4 = 81 \cdot y^{3 \cdot 4} = 81y^{12}$
$(-3y^4)^2 = (-3)^2 \cdot (y^4)^2 = 9 \cdot y^{4 \cdot 2} = 9y^8$

2. Перемножим полученные результаты:
$81y^{12} \cdot 9y^8$

3. Умножим коэффициенты и сложим показатели степеней для переменных:
$(81 \cdot 9) \cdot (y^{12} \cdot y^8) = 729 \cdot y^{12+8} = 729y^{20}$

Ответ: $729y^{20}$

г)

Чтобы упростить выражение $(16x^2)^4 : (8x)^5$, удобно представить коэффициенты 16 и 8 в виде степеней одного основания, например, двойки.

1. $16 = 2^4$, $8 = 2^3$. Подставим это в исходное выражение:
$((2^4)x^2)^4 : ((2^3)x)^5$

2. Раскроем скобки, используя свойства степеней:
$(2^4)^4 \cdot (x^2)^4 : ((2^3)^5 \cdot x^5)$
$2^{4 \cdot 4} \cdot x^{2 \cdot 4} : (2^{3 \cdot 5} \cdot x^5)$
$2^{16}x^8 : (2^{15}x^5)$

3. Выполним деление, вычитая показатели степеней для одинаковых оснований:
$(2^{16} : 2^{15}) \cdot (x^8 : x^5) = 2^{16-15} \cdot x^{8-5} = 2^1 \cdot x^3 = 2x^3$

Ответ: $2x^3$

122 a) $\frac{(a^3)^6 \cdot a^2}{a \cdot a^{19}}$;

Б) $\frac{(ab)^3 \cdot a^4}{ab^2}$;

В) $\frac{(b^6)^4 : b}{b^{15} \cdot b^8}$;

Г) $\frac{ab^3}{(ab)^3 : (a^2b)}$.

а) Упростим выражение $\frac{(a^3)^6 \cdot a^2}{a \cdot a^{19}}$.
Сначала упростим числитель. Используем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}$.
Затем используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^{18} \cdot a^2 = a^{18+2} = a^{20}$.
Теперь упростим знаменатель, используя то же свойство умножения степеней ($a = a^1$):
$a \cdot a^{19} = a^1 \cdot a^{19} = a^{1+19} = a^{20}$.
Получаем дробь: $\frac{a^{20}}{a^{20}}$.
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^{20}}{a^{20}} = a^{20-20} = a^0 = 1$.
Ответ: $1$.

б) Упростим выражение $\frac{(ab)^3 \cdot a^4}{ab^2}$.
Сначала упростим числитель. Используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:
$(ab)^3 = a^3 b^3$.
Теперь числитель выглядит так: $a^3 b^3 \cdot a^4$.
Сгруппируем и умножим степени с одинаковым основанием $a$ по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$(a^3 \cdot a^4) \cdot b^3 = a^{3+4} \cdot b^3 = a^7 b^3$.
Теперь всё выражение имеет вид: $\frac{a^7 b^3}{ab^2}$.
Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^7}{a^1} \cdot \frac{b^3}{b^2} = a^{7-1} \cdot b^{3-2} = a^6 b^1 = a^6 b$.
Ответ: $a^6 b$.

в) Упростим выражение $\frac{(b^6)^4 : b}{b^{15} \cdot b^8}$. Знак ':' обозначает деление.
Упростим числитель $(b^6)^4 : b$.
Сначала возведем степень в степень: $(b^6)^4 = b^{6 \cdot 4} = b^{24}$.
Затем выполним деление: $b^{24} : b = b^{24} : b^1 = b^{24-1} = b^{23}$.
Теперь упростим знаменатель $b^{15} \cdot b^8$.
Используем свойство умножения степеней: $b^{15} \cdot b^8 = b^{15+8} = b^{23}$.
Получаем дробь: $\frac{b^{23}}{b^{23}}$.
При делении одинаковых выражений (не равных нулю) результат равен 1. По свойству деления степеней:
$\frac{b^{23}}{b^{23}} = b^{23-23} = b^0 = 1$.
Ответ: $1$.

г) Упростим выражение $\frac{ab^3}{(ab)^3 : (a^2b)}$.
Сначала упростим знаменатель $(ab)^3 : (a^2b)$.
Возведем произведение в степень: $(ab)^3 = a^3 b^3$.
Знаменатель становится $a^3 b^3 : (a^2b)$. Запишем деление в виде дроби:
$\frac{a^3 b^3}{a^2b} = \frac{a^3}{a^2} \cdot \frac{b^3}{b^1} = a^{3-2} \cdot b^{3-1} = a^1 b^2 = ab^2$.
Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходное выражение:
$\frac{ab^3}{ab^2}$.
Выполним деление степеней с одинаковыми основаниями:
$\frac{a}{a} \cdot \frac{b^3}{b^2} = a^{1-1} \cdot b^{3-2} = a^0 \cdot b^1 = 1 \cdot b = b$.
Ответ: $b$.

123 Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида и выпишите его коэффициент $k$:

a) $12x^3y \cdot (-6x^2) \cdot 0,5xy^2;$

б) $0,4p^4q^7 : (-3\frac{3}{5} p^3q) \cdot (-3pq^3)^2;$

в) $\frac{1}{7}mn^5 \cdot 4m^3n \cdot 1\frac{3}{4}m^2;$

г) $-3a^5b^3 \cdot 2ab^4 : (-2a^2b)^3.$

а) $12x^3y \cdot (-6x^2) \cdot 0,5xy^2$

Чтобы преобразовать выражение в одночлен стандартного вида, нужно перемножить все числовые коэффициенты и сгруппировать переменные с одинаковым основанием, сложив их показатели степени.

1. Перемножим числовые коэффициенты: $12 \cdot (-6) \cdot 0,5 = -72 \cdot 0,5 = -36$.

2. Сгруппируем переменные $x$: $x^3 \cdot x^2 \cdot x = x^{3+2+1} = x^6$.

3. Сгруппируем переменные $y$: $y \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3$.

4. Объединим результаты: $-36x^6y^3$.

Это и есть одночлен стандартного вида. Его коэффициент $k$ равен числовому множителю.

Ответ: Одночлен стандартного вида: $-36x^6y^3$. Коэффициент $k = -36$.

б) $0,4p^4q^7 : (-3\frac{3}{5}p^3q) \cdot (-3pq^3)^2$

Сначала выполним возведение в степень, затем деление и умножение, следуя порядку действий.

1. Возведем в степень: $(-3pq^3)^2 = (-3)^2 \cdot p^2 \cdot (q^3)^2 = 9p^2q^6$.

2. Подставим результат в исходное выражение: $0,4p^4q^7 : (-3\frac{3}{5}p^3q) \cdot 9p^2q^6$.

3. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ и $-3\frac{3}{5} = -\frac{18}{5}$.

4. Выражение примет вид: $\frac{2}{5}p^4q^7 : (-\frac{18}{5}p^3q) \cdot 9p^2q^6$.

5. Выполним действия с коэффициентами: $\frac{2}{5} : (-\frac{18}{5}) \cdot 9 = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{5}{18}) \cdot 9 = -\frac{2 \cdot 5 \cdot 9}{5 \cdot 18} = -\frac{18}{18} = -1$.

6. Выполним действия с переменной $p$: $p^4 : p^3 \cdot p^2 = p^{4-3+2} = p^3$.

7. Выполним действия с переменной $q$: $q^7 : q \cdot q^6 = q^{7-1+6} = q^{12}$.

8. Объединим результаты: $-1 \cdot p^3q^{12} = -p^3q^{12}$.

Ответ: Одночлен стандартного вида: $-p^3q^{12}$. Коэффициент $k = -1$.

в) $\frac{1}{7}mn^5 \cdot 4m^3n \cdot 1\frac{3}{4}m^2$

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

2. Перемножим коэффициенты: $\frac{1}{7} \cdot 4 \cdot \frac{7}{4} = \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{7 \cdot 4} = 1$.

3. Сгруппируем переменные $m$: $m \cdot m^3 \cdot m^2 = m^{1+3+2} = m^6$.

4. Сгруппируем переменные $n$: $n^5 \cdot n = n^{5+1} = n^6$.

5. Объединим результаты: $1 \cdot m^6n^6 = m^6n^6$.

Ответ: Одночлен стандартного вида: $m^6n^6$. Коэффициент $k = 1$.

г) $-3a^5b^3 \cdot 2ab^4 : (-2a^2b)^3$

1. Возведем в степень: $(-2a^2b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = -8a^6b^3$.

2. Подставим результат в исходное выражение: $-3a^5b^3 \cdot 2ab^4 : (-8a^6b^3)$.

3. Выполним действия с коэффициентами: $(-3 \cdot 2) : (-8) = -6 : (-8) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

4. Выполним действия с переменной $a$: $(a^5 \cdot a) : a^6 = a^{5+1} : a^6 = a^6 : a^6 = a^{6-6} = a^0 = 1$.

5. Выполним действия с переменной $b$: $(b^3 \cdot b^4) : b^3 = b^{3+4} : b^3 = b^7 : b^3 = b^{7-3} = b^4$.

6. Объединим результаты: $\frac{3}{4} \cdot 1 \cdot b^4 = \frac{3}{4}b^4$.

Ответ: Одночлен стандартного вида: $\frac{3}{4}b^4$. Коэффициент $k = \frac{3}{4}$.