Страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

62 Одна сторона треугольника в 2 раза меньше другой стороны и на 3 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 31 см.

Для решения этой задачи введем переменную. Обозначим длину одной из сторон треугольника, о которой идет речь в условии, через $x$ см. Эта сторона является наименьшей, так как она меньше двух других.

Согласно условию, первая сторона ($x$ см) в 2 раза меньше другой стороны. Следовательно, вторая сторона в 2 раза больше первой, и ее длина составляет $2 \cdot x = 2x$ см.

Также по условию, первая сторона ($x$ см) на 3 см меньше третьей. Это означает, что третья сторона на 3 см больше первой, и ее длина равна $(x + 3)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию задачи, периметр равен 31 см. Мы можем составить уравнение, сложив выражения для длин всех трех сторон:

$x + 2x + (x + 3) = 31$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$x + 2x + x + 3 = 31$

$4x + 3 = 31$

Перенесем число 3 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$4x = 31 - 3$

$4x = 28$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{28}{4}$

$x = 7$

Таким образом, длина первой (наименьшей) стороны треугольника равна 7 см.

Теперь найдем длины двух других сторон, подставив найденное значение $x$:
Длина второй стороны: $2x = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Длина третьей стороны: $x + 3 = 7 + 3 = 10$ см.

Выполним проверку: найдем сумму длин полученных сторон $7 + 14 + 10 = 31$ см. Результат совпадает с периметром, указанным в условии.

Ответ: стороны треугольника равны 7 см, 14 см и 10 см.

63 В треугольнике один угол в 3 раза меньше другого угла и на $20^\circ$ больше третьего. Найдите углы треугольника.

Пусть один из углов треугольника, о котором идет речь в условии, равен $x$.

Согласно условию, этот угол в 3 раза меньше другого. Обозначим второй угол, он будет равен $3x$.

Также, по условию, этот же первый угол ($x$) на 20° больше третьего. Следовательно, третий угол можно выразить как $x - 20°$.

Сумма всех углов в любом треугольнике всегда равна 180°. Используя это свойство, мы можем составить уравнение:

$x + 3x + (x - 20°) = 180°$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все слагаемые с переменной $x$:

$5x - 20° = 180°$

Перенесем 20° в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$5x = 180° + 20°$

$5x = 200°$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{200°}{5}$

$x = 40°$

Мы нашли величину первого угла. Теперь вычислим два оставшихся угла:

Второй угол: $3x = 3 \cdot 40° = 120°$

Третий угол: $x - 20° = 40° - 20° = 20°$

Таким образом, углы треугольника равны 40°, 120° и 20°.

Проверим правильность решения. Сумма углов: $40° + 120° + 20° = 180°$. Условия задачи также выполняются: угол 40° в 3 раза меньше угла 120° и на 20° больше угла 20°.

Ответ: углы треугольника равны 20°, 40°, 120°.

64 Сторона $AB$ треугольника $ABC$ составляет $\frac{3}{4}$ стороны $BC$, а сторона $AC$ на 2 см больше $BC$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 24 см.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть длина стороны $BC$ треугольника $ABC$ равна $x$ см.

Согласно условию, сторона $AB$ составляет $\frac{3}{4}$ стороны $BC$. Следовательно, мы можем выразить длину стороны $AB$ как $\frac{3}{4}x$ см.

Также из условия известно, что сторона $AC$ на 2 см больше стороны $BC$. Значит, длина стороны $AC$ равна $(x + 2)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 24 см. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму длин сторон к периметру:

$AB + BC + AC = 24$

Теперь подставим в это уравнение выражения для длин сторон через $x$:

$\frac{3}{4}x + x + (x + 2) = 24$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$:

$(\frac{3}{4} + 1 + 1)x + 2 = 24$

Приведем коэффициенты при $x$ к общему знаменателю:

$(\frac{3}{4} + \frac{4}{4} + \frac{4}{4})x + 2 = 24$

$\frac{11}{4}x + 2 = 24$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{11}{4}x = 24 - 2$

$\frac{11}{4}x = 22$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{4}{11}$:

$x = 22 \cdot \frac{4}{11}$

$x = \frac{22 \cdot 4}{11} = 2 \cdot 4 = 8$

Таким образом, мы нашли длину стороны $BC$. Она равна 8 см.

Теперь, зная значение $x$, найдем длины двух других сторон:

Длина стороны $AB = \frac{3}{4}x = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$ см.

Длина стороны $AC = x + 2 = 8 + 2 = 10$ см.

Для проверки правильности решения сложим длины найденных сторон: $6 \text{ см} + 8 \text{ см} + 10 \text{ см} = 24 \text{ см}$. Результат совпадает с периметром, указанным в условии.

Ответ: сторона $AB = 6$ см, сторона $BC = 8$ см, сторона $AC = 10$ см.

65 Найдите углы треугольника, если их отношение равно $2 : 3 : 4$.

Пусть углы треугольника соотносятся как $2 : 3 : 4$. Обозначим одну часть этого отношения за $x$. Тогда величины углов треугольника будут равны $2x$, $3x$ и $4x$.

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Исходя из этого, можно составить следующее уравнение:
$2x + 3x + 4x = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$9x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{9}$
$x = 20^\circ$

Зная, что одна часть отношения равна $20^\circ$, мы можем вычислить каждый из углов треугольника:
Первый угол: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$
Второй угол: $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$
Третий угол: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Для проверки можно сложить полученные углы: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$. Сумма верна.

Ответ: $40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$.

66 В детском спортивном комплексе учащиеся имеют возможность заниматься тремя видами спорта: плаванием, теннисом и борьбой. При этом плаванием занимается в 2 раза больше учащихся, чем теннисом, и на 9 человек меньше, чем борьбой. Сколько человек занимается каждым видом спорта, если всего детский спортивный комплекс посещают 119 учащихся?

Для решения задачи введем неизвестную. Пусть $x$ — это количество учащихся, которые занимаются теннисом.

Из условия известно, что плаванием занимается в 2 раза больше учащихся, чем теннисом. Значит, количество занимающихся плаванием составляет $2x$.

Также сказано, что плаванием занимается на 9 человек меньше, чем борьбой. Это означает, что борьбой занимается на 9 человек больше, чем плаванием. Следовательно, количество занимающихся борьбой равно $2x + 9$.

Всего в детском спортивном комплексе 119 учащихся. Мы можем составить уравнение, сложив количество учащихся в каждой из трех секций:

$$x + 2x + (2x + 9) = 119$$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив все члены с переменной $x$:

$$5x + 9 = 119$$

Далее перенесем число 9 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$$5x = 119 - 9$$

$$5x = 110$$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$$x = \frac{110}{5}$$

$$x = 22$$

Таким образом, мы нашли, что теннисом занимаются 22 человека.

Теперь, зная $x$, можем найти количество учащихся в остальных секциях:

Количество занимающихся плаванием: $2x = 2 \times 22 = 44$ человека.

Количество занимающихся борьбой: $2x + 9 = 44 + 9 = 53$ человека.

Для проверки сложим количество всех учащихся:

$$22 + 44 + 53 = 119$$

Результат совпадает с общим количеством учащихся, указанным в условии задачи.

Ответ: теннисом занимаются 22 человека, плаванием — 44 человека, борьбой — 53 человека.

67 33 старшеклассницы посещают фитнес-клуб. Из них занятия в тренажёрном зале посещают на 5 человек меньше, чем занятия шейпингом, и в 2 раза меньше, чем занятия аквааэробикой. Сколько старшеклассниц посещают занятия в каждой секции?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ — это количество старшеклассниц, посещающих занятия в тренажёрном зале.

Исходя из условия задачи, выразим количество учениц в других секциях через $x$. Занятия шейпингом посещают на 5 человек больше, чем в тренажёрном зале, то есть их количество составляет $(x + 5)$ человек. Занятия аквааэробикой посещают в 2 раза больше человек, чем в тренажёрном зале, значит, их количество равно $2x$ человек.

Общее количество старшеклассниц — 33. Сумма учениц во всех секциях должна быть равна этому числу. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 5) + 2x = 33$

Сложим все слагаемые с переменной $x$:

$4x + 5 = 33$

Перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$4x = 33 - 5$

$4x = 28$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = 28 \div 4$

$x = 7$

Итак, мы нашли, что занятия в тренажёрном зале посещают 7 человек. Теперь можем определить количество человек в каждой секции.

Тренажёрный зал: 7 старшеклассниц.

Шейпинг: $7 + 5 = 12$ старшеклассниц.

Аквааэробика: $2 \times 7 = 14$ старшеклассниц.

Для проверки сложим количество старшеклассниц во всех секциях: $7 + 12 + 14 = 33$. Сумма сходится с общим количеством, указанным в условии задачи.

Ответ: в тренажёрном зале занимаются 7 старшеклассниц, на шейпинге — 12 старшеклассниц, на аквааэробике — 14 старшеклассниц.

68 Моторная лодка за 2 ч по течению реки проплывает такое же расстояние, как за 3 ч против течения реки. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Для решения задачи обозначим собственную скорость лодки (скорость в стоячей воде) как $v$ км/ч. Это искомая величина.

Из условия нам известна скорость течения реки — 3 км/ч.

1. Найдем скорость лодки по течению и против течения.

Скорость лодки при движении по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\;течению} = v + 3$ (км/ч)

Скорость лодки при движении против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\;течения} = v - 3$ (км/ч)

2. Выразим расстояние, пройденное лодкой в обоих случаях.

Расстояние вычисляется по формуле $S = \text{скорость} \times \text{время}$.

За 2 часа по течению лодка проплывает расстояние:

$S_{по\;течению} = (v + 3) \times 2$ (км)

За 3 часа против течения лодка проплывает расстояние:

$S_{против\;течения} = (v - 3) \times 3$ (км)

3. Составим и решим уравнение.

По условию задачи, эти расстояния равны. Приравняем выражения для расстояний:

$(v + 3) \times 2 = (v - 3) \times 3$

Раскроем скобки в уравнении:

$2v + 6 = 3v - 9$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $v$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Для удобства перенесем $2v$ вправо, а $-9$ влево:

$6 + 9 = 3v - 2v$

Выполним вычисления:

$15 = v$

Таким образом, собственная скорость лодки равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

69 Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 40 мин. Скорость одного из них на 3 $\text{км/ч}$ больше скорости другого. Найдите скорости велосипедистов, если расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно 18 $\text{км}$.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого (более медленного) велосипедиста, тогда скорость второго велосипедиста, согласно условию, будет $v_2 = (v_1 + 3)$ км/ч.

Велосипедисты движутся навстречу друг другу. Скорость их сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = v_1 + (v_1 + 3) = 2v_1 + 3$ км/ч.

Расстояние $S$, которое они проехали вместе до встречи, равно расстоянию между пунктами А и В, то есть $S = 18$ км. Время в пути до встречи $t$ составляет 40 минут. Переведем время в часы, чтобы единицы измерения были согласованы:

$t = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Расстояние, скорость и время связаны формулой $S = v_{сбл} \times t$. Подставим известные значения в эту формулу, чтобы составить уравнение:

$18 = (2v_1 + 3) \times \frac{2}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $v_1$. Сначала найдем скорость сближения, разделив расстояние на время:

$2v_1 + 3 = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \times \frac{3}{2} = 27$

Мы получили, что скорость сближения равна 27 км/ч. Теперь найдем $v_1$:

$2v_1 = 27 - 3$

$2v_1 = 24$

$v_1 = \frac{24}{2} = 12$ км/ч.

Это скорость первого (более медленного) велосипедиста. Теперь найдем скорость второго велосипедиста:

$v_2 = v_1 + 3 = 12 + 3 = 15$ км/ч.

Таким образом, скорости велосипедистов равны 12 км/ч и 15 км/ч.

Ответ: 12 км/ч и 15 км/ч.

70 Мастер за 2 ч работы изготавливает столько же деталей, сколько его ученик за 6 ч работы. Найдите производительность труда мастера, если он за час изготавливает на 12 деталей больше, чем его ученик.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть производительность труда ученика равна $x$ деталей в час.

Из условия известно, что мастер за час изготавливает на 12 деталей больше, чем его ученик. Следовательно, производительность труда мастера составляет $(x + 12)$ деталей в час.

Также в условии сказано, что мастер за 2 часа работы изготавливает столько же деталей, сколько его ученик за 6 часов. Объём выполненной работы равен произведению производительности на время.

Количество деталей, которое изготовит мастер за 2 часа, равно $2 \cdot (x + 12)$.

Количество деталей, которое изготовит ученик за 6 часов, равно $6 \cdot x$.

Поскольку эти количества деталей равны, мы можем составить следующее уравнение:

$2 \cdot (x + 12) = 6x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$2x + 24 = 6x$

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону уравнения:

$24 = 6x - 2x$

$24 = 4x$

$x = \frac{24}{4}$

$x = 6$

Таким образом, производительность ученика составляет 6 деталей в час.

В задаче требуется найти производительность труда мастера. Она равна:

$x + 12 = 6 + 12 = 18$ деталей в час.

Ответ: производительность труда мастера составляет 18 деталей в час.

71. Найдите три последовательных нечётных числа, сумма которых равна 81.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть первое из трёх последовательных нечётных чисел равно $x$.

Поскольку числа являются последовательными нечётными, каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Значит, второе число будет равно $x+2$, а третье число будет равно $x+4$.

Согласно условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 81. Составим и решим уравнение: $x + (x+2) + (x+4) = 81$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $x + x + 2 + x + 4 = 81$ $3x + 6 = 81$

Перенесём 6 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $3x = 81 - 6$ $3x = 75$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$: $x = \frac{75}{3}$ $x = 25$

Мы нашли первое число, оно равно 25. Теперь найдём остальные два числа: Второе число: $x + 2 = 25 + 2 = 27$ Третье число: $x + 4 = 25 + 4 = 29$

Таким образом, искомые три последовательных нечётных числа — это 25, 27 и 29.

Сделаем проверку: $25 + 27 + 29 = 81$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 25, 27, 29.