Страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Решите уравнение:

124 a) $x^5 = 32;$

б) $-2x^3 = 250;$

в) $x^3 = 216;$

г) $5x^5 = -160.$

а)

Дано уравнение $x^5 = 32$.

Для нахождения $x$ необходимо извлечь корень пятой степени из обеих частей уравнения. Поскольку показатель степени (5) — нечетное число, существует только один действительный корень.

$x = \sqrt[5]{32}$

Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень равно 32. Проверяем число 2:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Следовательно, $x = 2$.

Ответ: 2

б)

Дано уравнение $-2x^3 = 250$.

В первую очередь, изолируем $x^3$, разделив обе части уравнения на -2.

$x^3 = \frac{250}{-2}$

$x^3 = -125$

Теперь извлечем кубический корень из обеих частей. Показатель степени (3) — нечетное число, поэтому корень из отрицательного числа существует.

$x = \sqrt[3]{-125}$

Мы знаем, что $5^3 = 125$, следовательно, $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$.

Таким образом, $x = -5$.

Ответ: -5

в)

Дано уравнение $x^3 = 216$.

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения. Показатель степени (3) нечетный, поэтому решение будет единственным.

$x = \sqrt[3]{216}$

Найдем число, куб которого равен 216. Проверяем число 6:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

Следовательно, $x = 6$.

Ответ: 6

г)

Дано уравнение $5x^5 = -160$.

Сначала изолируем $x^5$, разделив обе части уравнения на 5.

$x^5 = \frac{-160}{5}$

$x^5 = -32$

Теперь извлечем корень пятой степени из обеих частей. Так как показатель степени (5) нечетный, корень из отрицательного числа существует.

$x = \sqrt[5]{-32}$

Мы знаем, что $2^5 = 32$, следовательно, $(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$.

Таким образом, $x = -2$.

Ответ: -2

125 а) $x^2 = 1$;

б) $3x^4 = 48$;

в) $x^6 = 64$;

г) $2x^4 = 162$.

а) Дано уравнение $x^2 = 1$. Чтобы найти значение $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^n = a$, где $n$ — четное число, а $a > 0$, имеет два корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{1}$
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$

Ответ: $1; -1$.

б) Дано уравнение $3x^4 = 48$. Сначала упростим уравнение, разделив обе его части на 3:
$x^4 = \frac{48}{3}$
$x^4 = 16$
Теперь извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Так как показатель степени (4) — четное число, а правая часть (16) положительна, уравнение будет иметь два действительных корня:
$x = \pm\sqrt[4]{16}$
Поскольку $2^4 = 16$, получаем:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$

Ответ: $2; -2$.

в) Дано уравнение $x^6 = 64$. Для его решения необходимо извлечь корень шестой степени. Показатель степени (6) — четное число, а правая часть (64) положительна, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:
$x = \pm\sqrt[6]{64}$
Так как $2^6 = 64$, получаем:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$

Ответ: $2; -2$.

г) Дано уравнение $2x^4 = 162$. Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$x^4 = \frac{162}{2}$
$x^4 = 81$
Теперь извлечем корень четвертой степени. Показатель степени (4) — четное число, а правая часть (81) положительна, поэтому уравнение имеет два действительных корня:
$x = \pm\sqrt[4]{81}$
Поскольку $3^4 = 81$, получаем:
$x_1 = 3$
$x_2 = -3$

Ответ: $3; -3$.

126 a) $(2x)^7 = 128;$

б) $(5x)^4 = 81;$

в) $(3x)^5 = 32;$

г) $(6x)^2 = 144.$

а)

Дано уравнение $(2x)^7 = 128$.

Чтобы решить это уравнение, необходимо представить число 128 в виде степени. Мы знаем, что $2$ в седьмой степени равно $128$:

$2^7 = 128$

Теперь мы можем переписать исходное уравнение:

$(2x)^7 = 2^7$

Поскольку показатели степени (7) равны и являются нечетными числами, мы можем приравнять основания степеней:

$2x = 2$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2}{2}$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$

б)

Дано уравнение $(5x)^4 = 81$.

Представим число 81 в виде степени. Мы знаем, что $3$ в четвертой степени равно $81$:

$3^4 = 81$

Подставим это значение в уравнение:

$(5x)^4 = 3^4$

Поскольку показатель степени (4) является четным числом, основание $5x$ может быть равно как положительному, так и отрицательному значению основания в правой части. То есть, $5x$ может быть равно $3$ или $-3$.

Рассмотрим оба случая:

1) $5x = 3$

$x = \frac{3}{5} = 0.6$

2) $5x = -3$

$x = -\frac{3}{5} = -0.6$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0.6, x_2 = -0.6$

в)

Дано уравнение $(3x)^5 = 32$.

Представим число 32 в виде степени. Известно, что $2$ в пятой степени равно $32$:

$2^5 = 32$

Перепишем уравнение с новым значением:

$(3x)^5 = 2^5$

Так как показатели степени (5) равны и являются нечетными, основания степеней также должны быть равны:

$3x = 2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{2}{3}$

Ответ: $x = \frac{2}{3}$

г)

Дано уравнение $(6x)^2 = 144$.

Представим число 144 в виде квадрата. Мы знаем, что $12^2 = 144$.

Запишем уравнение в новом виде:

$(6x)^2 = 12^2$

Показатель степени (2) является четным, поэтому основание $6x$ может быть равно как $12$, так и $-12$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) $6x = 12$

$x = \frac{12}{6} = 2$

2) $6x = -12$

$x = \frac{-12}{6} = -2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$

127 а) $x^3 + 1 = 0;$

Б) $3x^5 + 100 = 4;$

В) $x^5 - 20 = 12;$

Г) $(3x)^3 - 25 = 100.$

а) Дано уравнение $x^3 + 1 = 0$.
Чтобы найти $x$, сначала изолируем член с переменной. Для этого перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив его знак:
$x^3 = -1$
Теперь извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt[3]{-1}$
Кубический корень из -1 равен -1, так как $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$.
$x = -1$
Ответ: $x = -1$.

б) Дано уравнение $3x^5 + 100 = 4$.
Перенесем 100 в правую часть уравнения:
$3x^5 = 4 - 100$
$3x^5 = -96$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы изолировать $x^5$:
$x^5 = \frac{-96}{3}$
$x^5 = -32$
Теперь извлечем корень пятой степени из обеих частей:
$x = \sqrt[5]{-32}$
Корень пятой степени из -32 равен -2, так как $(-2)^5 = -32$.
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.

в) Дано уравнение $x^5 - 20 = 12$.
Перенесем -20 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$x^5 = 12 + 20$
$x^5 = 32$
Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt[5]{32}$
Корень пятой степени из 32 равен 2, так как $2^5 = 32$.
$x = 2$
Ответ: $x = 2$.

г) Дано уравнение $(3x)^3 - 25 = 100$.
Перенесем -25 в правую часть уравнения:
$(3x)^3 = 100 + 25$
$(3x)^3 = 125$
Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$\sqrt[3]{(3x)^3} = \sqrt[3]{125}$
$3x = 5$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{5}{3}$
Ответ: $x = \frac{5}{3}$.

128 a) $2^x = 128;$

б) $5^{x-4} = 125;$

в) $3^x = 243;$

г) $6^{x+1} = 216.$

а) $2^x = 128$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим обе его части в виде степени с одинаковым основанием. Основание в левой части равно 2.

Представим число 128 как степень числа 2. Известно, что $128 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^7$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$2^x = 2^7$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 7$

Ответ: 7

б) $5^{x-4} = 125$

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Основание в левой части равно 5.

Представим число 125 как степень числа 5. Мы знаем, что $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.

Подставим это в уравнение:

$5^{x-4} = 5^3$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x - 4 = 3$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 3 + 4$

$x = 7$

Ответ: 7

в) $3^x = 243$

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

Представим число 243 как степень числа 3. Известно, что $243 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5$.

Подставим это в уравнение:

$3^x = 3^5$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$x = 5$

Ответ: 5

г) $6^{x+1} = 216$

Приведем обе части уравнения к основанию 6.

Представим число 216 как степень числа 6. Мы знаем, что $216 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$.

Подставим это значение в уравнение:

$6^{x+1} = 6^3$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x + 1 = 3$

Решаем полученное уравнение:

$x = 3 - 1$

$x = 2$

Ответ: 2

129 a) $7^{3x} = 343;$

б) $3^{2x-1} = 27;$

в) $2^{5x} = 1024;$

г) $5^{3x+4} = 625.$

а)

Дано показательное уравнение $7^{3x} = 343$.

Для решения этого уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 7.

Представим число 343 в виде степени числа 7. Мы знаем, что $7^1 = 7$, $7^2 = 49$, $7^3 = 343$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$7^{3x} = 7^3$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x = 3$

Теперь решим полученное линейное уравнение, разделив обе части на 3:

$x = \frac{3}{3}$

$x = 1$

Ответ: $1$.

б)

Дано показательное уравнение $3^{2x-1} = 27$.

Приведем обе части уравнения к основанию 3. Число 27 является третьей степенью числа 3, так как $3^3 = 27$.

Запишем уравнение с одинаковыми основаниями:

$3^{2x-1} = 3^3$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x - 1 = 3$

Решим полученное линейное уравнение. Сначала перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = 3 + 1$

$2x = 4$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Ответ: $2$.

в)

Дано показательное уравнение $2^{5x} = 1024$.

Для решения приведем обе части к основанию 2. Необходимо представить 1024 как степень числа 2.

Мы знаем, что $2^{10} = 1024$.

Подставим это значение в уравнение:

$2^{5x} = 2^{10}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$5x = 10$

Решаем простое линейное уравнение:

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Ответ: $2$.

г)

Дано показательное уравнение $5^{3x+4} = 625$.

Приведем обе части уравнения к основанию 5. Представим число 625 как степень числа 5.

Известно, что $5^4 = 625$.

Теперь уравнение можно записать в следующем виде:

$5^{3x+4} = 5^4$

Поскольку основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели:

$3x + 4 = 4$

Решим полученное линейное уравнение. Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$3x = 4 - 4$

$3x = 0$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{0}{3}$

$x = 0$

Ответ: $0$.

130 a) $(x + 3)^3 = 1;$

б) $(2x - 5)^5 = -243;$

В) $(x - 1)^5 = 32;$

Г) $(5x + 4)^7 = -1.$

а)

Дано уравнение $(x + 3)^3 = 1$.

Для решения необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения. Так как показатель степени нечетный, действительный корень будет один.

$\sqrt[3]{(x + 3)^3} = \sqrt[3]{1}$

Поскольку $1^3 = 1$, кубический корень из 1 равен 1. Получаем:

$x + 3 = 1$

Перенесем 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 1 - 3$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

б)

Дано уравнение $(2x - 5)^5 = -243$.

Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения. Показатель степени (5) нечетный, поэтому корень будет один.

$\sqrt[5]{(2x - 5)^5} = \sqrt[5]{-243}$

Найдем число, которое в пятой степени равно -243. Мы знаем, что $3^5 = 243$, следовательно, $(-3)^5 = -243$. Значит, $\sqrt[5]{-243} = -3$.

Уравнение принимает вид:

$2x - 5 = -3$

Прибавим 5 к обеим частям уравнения:

$2x = -3 + 5$

$2x = 2$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2}{2}$

$x = 1$

Ответ: $1$.

в)

Дано уравнение $(x - 1)^5 = 32$.

Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения. Так как 5 - нечетное число, решение будет одно.

$\sqrt[5]{(x - 1)^5} = \sqrt[5]{32}$

Мы знаем, что $2^5 = 32$, поэтому корень пятой степени из 32 равен 2.

Получаем простое линейное уравнение:

$x - 1 = 2$

Прибавим 1 к обеим частям:

$x = 2 + 1$

$x = 3$

Ответ: $3$.

г)

Дано уравнение $(5x + 4)^7 = -1$.

Извлечем корень седьмой степени из обеих частей. Показатель 7 нечетный, поэтому действительный корень будет один.

$\sqrt[7]{(5x + 4)^7} = \sqrt[7]{-1}$

Корень нечетной степени из -1 всегда равен -1, так как $(-1)^7 = -1$.

Уравнение упрощается до:

$5x + 4 = -1$

Вычтем 4 из обеих частей:

$5x = -1 - 4$

$5x = -5$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{-5}{5}$

$x = -1$

Ответ: $-1$.

131 а) $(x + 1)^8 = 256;$

б) $(3x - 5)^4 = 81;$

в) $(x - 2)^6 = 729;$

г) $(7x - 2)^4 = 625.$

а) $(x + 1)^8 = 256$

Данное уравнение имеет вид $a^n = b$, где $n$ — четное число. В этом случае уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $a = \sqrt[n]{b}$ и $a = -\sqrt[n]{b}$.

Применим это правило к нашему уравнению. Основание степени $(x+1)$ может быть равно $\sqrt[8]{256}$ или $-\sqrt[8]{256}$.

Так как $2^8 = 256$, то $\sqrt[8]{256} = 2$.

Получаем два линейных уравнения:

1) $x + 1 = 2$

$x = 2 - 1$

$x_1 = 1$

2) $x + 1 = -2$

$x = -2 - 1$

$x_2 = -3$

Ответ: -3; 1.

б) $(3x - 5)^4 = 81$

Поскольку показатель степени 4 является четным числом, основание степени $(3x - 5)$ может быть равно положительному или отрицательному корню 4-й степени из 81.

Найдем значение корня: $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Рассмотрим два случая:

1) $3x - 5 = 3$

$3x = 3 + 5$

$3x = 8$

$x_1 = \frac{8}{3}$

2) $3x - 5 = -3$

$3x = -3 + 5$

$3x = 2$

$x_2 = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$; $\frac{8}{3}$.

в) $(x - 2)^6 = 729$

Так как показатель степени 6 является четным, то основание $(x - 2)$ может принимать два значения: $\sqrt[6]{729}$ и $-\sqrt[6]{729}$.

Вычислим корень: $\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.

Это приводит к двум уравнениям:

1) $x - 2 = 3$

$x = 3 + 2$

$x_1 = 5$

2) $x - 2 = -3$

$x = -3 + 2$

$x_2 = -1$

Ответ: -1; 5.

г) $(7x - 2)^4 = 625$

Показатель степени 4 — четное число. Следовательно, выражение $(7x - 2)$ может быть равно $\sqrt[4]{625}$ или $-\sqrt[4]{625}$.

Найдем значение корня: $\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.

Решим два получившихся уравнения:

1) $7x - 2 = 5$

$7x = 5 + 2$

$7x = 7$

$x_1 = 1$

2) $7x - 2 = -5$

$7x = -5 + 2$

$7x = -3$

$x_2 = -\frac{3}{7}$

Ответ: $-\frac{3}{7}$; 1.

132 Стороны прямоугольника относятся как 4 : 5, а его площадь равна $180 \text{ см}^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Согласно условию задачи, их отношение составляет $4:5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить как $a = 4x$ и $b = 5x$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его сторон: $S = a \cdot b$. По условию, площадь равна $180 \text{ см}^2$.

Составим уравнение, подставив выражения для сторон и значение площади в формулу:

$(4x) \cdot (5x) = 180$

$20x^2 = 180$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$x^2 = \frac{180}{20}$

$x^2 = 9$

$x = \sqrt{9}$

Поскольку длина стороны должна быть положительным числом, мы выбираем положительное значение корня: $x = 3$.

Теперь найдем длины сторон прямоугольника, подставив значение $x=3$:

Первая сторона: $a = 4x = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}$.

Вторая сторона: $b = 5x = 5 \cdot 3 = 15 \text{ см}$.

Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 15 см.

133 Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 3 : 4 : 6, а его объём равен $576 \text{ см}^3$. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, их отношение составляет $3:4:6$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда измерения можно выразить следующим образом: $a = 3x$ $b = 4x$ $c = 6x$

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле как произведение его трех измерений: $V = a \cdot b \cdot c$

Подставим в эту формулу выражения для измерений через $x$: $V = (3x) \cdot (4x) \cdot (6x) = (3 \cdot 4 \cdot 6) \cdot (x \cdot x \cdot x) = 72x^3$

Из условия задачи известно, что объём параллелепипеда равен $576 \text{ см}^3$. Приравняем это значение к полученному выражению для объёма, чтобы составить уравнение: $72x^3 = 576$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала найдем $x^3$, разделив обе части уравнения на 72: $x^3 = \frac{576}{72}$ $x^3 = 8$

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: $x = \sqrt[3]{8}$ $x = 2$

Теперь, зная значение коэффициента пропорциональности $x=2$, мы можем найти фактические длины измерений прямоугольного параллелепипеда: $a = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$ $b = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}$ $c = 6x = 6 \cdot 2 = 12 \text{ см}$

Проверим правильность найденных измерений, вычислив объем: $V = 6 \cdot 8 \cdot 12 = 48 \cdot 12 = 576 \text{ см}^3$. Результат совпадает с условием.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 8 см и 12 см.

134 Приведите многочлен к стандартному виду:

а) $x^2 - 2x + 4 - 2x^2 - 3x - 9 + x;$

б) $5c^2d - cd^2 + d^3 - 2cd^2 + c^2d - d^3;$

в) $12 + 3x^2 - 2x - x - 1 - 4x^2 - 7;$

г) $p^3 + pq + pq^2 - q^3 - p^3 - q^3 - pq^2.$

а) Для приведения многочлена $x^2 - 2x + 4 - 2x^2 - 3x - 9 + x$ к стандартному виду необходимо найти и сложить подобные члены. Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью.

Сгруппируем подобные члены:

1. Члены с $x^2$: $x^2$ и $-2x^2$.

2. Члены с $x$: $-2x$, $-3x$ и $x$.

3. Свободные члены (числа): $4$ и $-9$.

Запишем выражение, сгруппировав их: $(x^2 - 2x^2) + (-2x - 3x + x) + (4 - 9)$.

Теперь выполним действия в каждой группе:

$x^2 - 2x^2 = (1-2)x^2 = -x^2$

$-2x - 3x + x = (-2-3+1)x = -4x$

$4 - 9 = -5$

Запишем получившийся многочлен, расположив члены в порядке убывания степеней переменной. Это и будет стандартный вид многочлена.

Ответ: $-x^2 - 4x - 5$

б) Рассмотрим многочлен $5c^2d - cd^2 + d^3 - 2cd^2 + c^2d - d^3$. Найдем и приведем подобные члены.

Сгруппируем подобные члены:

1. Члены с $c^2d$: $5c^2d$ и $c^2d$.

2. Члены с $cd^2$: $-cd^2$ и $-2cd^2$.

3. Члены с $d^3$: $d^3$ и $-d^3$.

Запишем выражение в сгруппированном виде: $(5c^2d + c^2d) + (-cd^2 - 2cd^2) + (d^3 - d^3)$.

Выполним сложение и вычитание в группах:

$5c^2d + c^2d = (5+1)c^2d = 6c^2d$

$-cd^2 - 2cd^2 = (-1-2)cd^2 = -3cd^2$

$d^3 - d^3 = 0$

Объединяем полученные члены в многочлен стандартного вида.

Ответ: $6c^2d - 3cd^2$

в) Приведем многочлен $12 + 3x^2 - 2x - x - 1 - 4x^2 - 7$ к стандартному виду. Для этого сгруппируем и сложим подобные члены.

Группы подобных членов:

1. Члены с $x^2$: $3x^2$ и $-4x^2$.

2. Члены с $x$: $-2x$ и $-x$.

3. Свободные члены: $12$, $-1$ и $-7$.

Группируем и вычисляем: $(3x^2 - 4x^2) + (-2x - x) + (12 - 1 - 7)$.

Выполним вычисления в каждой группе:

$3x^2 - 4x^2 = (3-4)x^2 = -x^2$

$-2x - x = (-2-1)x = -3x$

$12 - 1 - 7 = 4$

Записываем результат, располагая члены в порядке убывания их степеней.

Ответ: $-x^2 - 3x + 4$

г) Рассмотрим многочлен $p^3 + pq + pq^2 - q^3 - p^3 - q^3 - pq^2$ и приведем его к стандартному виду.

Сгруппируем подобные члены:

1. Члены с $p^3$: $p^3$ и $-p^3$.

2. Члены с $pq^2$: $pq^2$ и $-pq^2$.

3. Члены с $q^3$: $-q^3$ и $-q^3$.

4. Член $pq$ не имеет подобных.

Запишем выражение, сгруппировав подобные члены: $(p^3 - p^3) + (pq^2 - pq^2) + (-q^3 - q^3) + pq$.

Выполним действия в группах:

$p^3 - p^3 = 0$

$pq^2 - pq^2 = 0$

$-q^3 - q^3 = (-1-1)q^3 = -2q^3$

Собираем оставшиеся члены. В многочлене остались члены $pq$ и $-2q^3$.

Ответ: $pq - 2q^3$

135 Упростите выражение:

a) $(m^2 - 5m + 1) - (m^2 - 4);$

б) $-3b(a - 2b) + 2a(3a - b);$

В) $-(9 + n^2) - (6n + n^2 - 10);$

Г) $y(5x - y) + 4x(x - 3y).$

а) Для того чтобы упростить выражение $(m^2 - 5m + 1) - (m^2 - 4)$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Первая скобка раскрывается без изменения знаков. Так как перед второй скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.

$(m^2 - 5m + 1) - (m^2 - 4) = m^2 - 5m + 1 - m^2 + 4$

Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:

$(m^2 - m^2) - 5m + (1 + 4) = 0 - 5m + 5 = -5m + 5$

Ответ: $-5m + 5$.

б) Для упрощения выражения $-3b(a - 2b) + 2a(3a - b)$ нужно раскрыть скобки, умножив одночлены на многочлены, а затем привести подобные слагаемые.

Раскрываем скобки:

$-3b(a - 2b) = (-3b) \cdot a + (-3b) \cdot (-2b) = -3ab + 6b^2$

$2a(3a - b) = 2a \cdot 3a + 2a \cdot (-b) = 6a^2 - 2ab$

Теперь сложим полученные выражения:

$(-3ab + 6b^2) + (6a^2 - 2ab) = -3ab + 6b^2 + 6a^2 - 2ab$

Приводим подобные слагаемые, группируя члены с $ab$:

$6a^2 + (-3ab - 2ab) + 6b^2 = 6a^2 - 5ab + 6b^2$

Ответ: $6a^2 - 5ab + 6b^2$.

в) Чтобы упростить выражение $(9 + n^2) - (6n + n^2 - 10)$, раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому все знаки внутри нее изменятся на противоположные.

$(9 + n^2) - (6n + n^2 - 10) = 9 + n^2 - 6n - n^2 + 10$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) - 6n + (9 + 10) = 0 - 6n + 19 = 19 - 6n$

Ответ: $19 - 6n$.

г) Для упрощения выражения $y(5x - y) + 4x(x - 3y)$ применим распределительное свойство умножения (раскроем скобки), а затем приведем подобные слагаемые.

Раскрываем скобки:

$y(5x - y) = y \cdot 5x - y \cdot y = 5xy - y^2$

$4x(x - 3y) = 4x \cdot x - 4x \cdot 3y = 4x^2 - 12xy$

Сложим полученные выражения:

$(5xy - y^2) + (4x^2 - 12xy) = 5xy - y^2 + 4x^2 - 12xy$

Приведем подобные слагаемые, группируя члены с $xy$:

$4x^2 + (5xy - 12xy) - y^2 = 4x^2 - 7xy - y^2$

Ответ: $4x^2 - 7xy - y^2$.

136 Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:

a) $(9 - a)(8 + a);$

б) $(2b - 3c)(2c + 3b);$

в) $(15 - b)(b - 1);$

г) $(4a - 5c)(-a + 3c).$

а) Чтобы преобразовать произведение в многочлен стандартного вида, необходимо раскрыть скобки, умножив каждый член первого двучлена на каждый член второго, а затем привести подобные слагаемые.
$(9 - a)(8 + a) = 9 \cdot 8 + 9 \cdot a - a \cdot 8 - a \cdot a = 72 + 9a - 8a - a^2$.
Приводим подобные слагаемые ($9a$ и $-8a$):
$72 + (9 - 8)a - a^2 = 72 + a - a^2$.
Запишем результат в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной $a$:$
$-a^2 + a + 72$.
Ответ: $-a^2 + a + 72$.

б) Раскроем скобки в выражении $(2b - 3c)(2c + 3b)$:
$(2b - 3c)(2c + 3b) = 2b \cdot 2c + 2b \cdot 3b - 3c \cdot 2c - 3c \cdot 3b = 4bc + 6b^2 - 6c^2 - 9bc$.
Приведем подобные слагаемые ($4bc$ и $-9bc$):
$6b^2 - 6c^2 + (4bc - 9bc) = 6b^2 - 6c^2 - 5bc$.
Для стандартного вида запишем члены в лексикографическом порядке:
$6b^2 - 5bc - 6c^2$.
Ответ: $6b^2 - 5bc - 6c^2$.

в) Раскроем скобки в произведении $(15 - b)(b - 1)$:
$(15 - b)(b - 1) = 15 \cdot b + 15 \cdot (-1) - b \cdot b - b \cdot (-1) = 15b - 15 - b^2 + b$.
Приведем подобные слагаемые ($15b$ и $b$):
$-b^2 + (15b + b) - 15 = -b^2 + 16b - 15$.
Многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $-b^2 + 16b - 15$.

г) Раскроем скобки в выражении $(4a - 5c)(-a + 3c)$:
$(4a - 5c)(-a + 3c) = 4a \cdot (-a) + 4a \cdot 3c - 5c \cdot (-a) - 5c \cdot 3c = -4a^2 + 12ac + 5ac - 15c^2$.
Приведем подобные слагаемые ($12ac$ и $5ac$), помня, что $ac = ca$:$
$-4a^2 + (12 + 5)ac - 15c^2 = -4a^2 + 17ac - 15c^2$.
Многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $-4a^2 + 17ac - 15c^2$.