Номер 131, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 131, страница 233.

Условие.

131 а) $(x + 1)^8 = 256;$

б) $(3x - 5)^4 = 81;$

в) $(x - 2)^6 = 729;$

г) $(7x - 2)^4 = 625.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) $(x + 1)^8 = 256$

Данное уравнение имеет вид $a^n = b$, где $n$ — четное число. В этом случае уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $a = \sqrt[n]{b}$ и $a = -\sqrt[n]{b}$.

Применим это правило к нашему уравнению. Основание степени $(x+1)$ может быть равно $\sqrt[8]{256}$ или $-\sqrt[8]{256}$.

Так как $2^8 = 256$, то $\sqrt[8]{256} = 2$.

Получаем два линейных уравнения:

1) $x + 1 = 2$

$x = 2 - 1$

$x_1 = 1$

2) $x + 1 = -2$

$x = -2 - 1$

$x_2 = -3$

Ответ: -3; 1.

б) $(3x - 5)^4 = 81$

Поскольку показатель степени 4 является четным числом, основание степени $(3x - 5)$ может быть равно положительному или отрицательному корню 4-й степени из 81.

Найдем значение корня: $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Рассмотрим два случая:

1) $3x - 5 = 3$

$3x = 3 + 5$

$3x = 8$

$x_1 = \frac{8}{3}$

2) $3x - 5 = -3$

$3x = -3 + 5$

$3x = 2$

$x_2 = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$; $\frac{8}{3}$.

в) $(x - 2)^6 = 729$

Так как показатель степени 6 является четным, то основание $(x - 2)$ может принимать два значения: $\sqrt[6]{729}$ и $-\sqrt[6]{729}$.

Вычислим корень: $\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.

Это приводит к двум уравнениям:

1) $x - 2 = 3$

$x = 3 + 2$

$x_1 = 5$

2) $x - 2 = -3$

$x = -3 + 2$

$x_2 = -1$

Ответ: -1; 5.

г) $(7x - 2)^4 = 625$

Показатель степени 4 — четное число. Следовательно, выражение $(7x - 2)$ может быть равно $\sqrt[4]{625}$ или $-\sqrt[4]{625}$.

Найдем значение корня: $\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.

Решим два получившихся уравнения:

1) $7x - 2 = 5$

$7x = 5 + 2$

$7x = 7$

$x_1 = 1$

2) $7x - 2 = -5$

$7x = -5 + 2$

$7x = -3$

$x_2 = -\frac{3}{7}$

Ответ: $-\frac{3}{7}$; 1.