Страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида с помощью формул сокращённого умножения:

137

а) $(a + 2)^2$;

б) $(3b - 1)^2$;

в) $(x - 8)^2$;

г) $(1 + 4y)^2$.

а) Для преобразования выражения $(a + 2)^2$ используется формула сокращенного умножения "квадрат суммы": $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении $x = a$, а $y = 2$.

Применяя формулу, получаем:

$(a + 2)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 + 4a + 4$.

Полученный многочлен $a^2 + 4a + 4$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $a^2 + 4a + 4$.

б) Для преобразования выражения $(3b - 1)^2$ используется формула сокращенного умножения "квадрат разности": $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении $x = 3b$, а $y = 1$.

Применяя формулу, получаем:

$(3b - 1)^2 = (3b)^2 - 2 \cdot 3b \cdot 1 + 1^2 = 9b^2 - 6b + 1$.

Полученный многочлен $9b^2 - 6b + 1$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $9b^2 - 6b + 1$.

в) Для преобразования выражения $(x - 8)^2$ используется формула сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении $a = x$, а $b = 8$.

Применяя формулу, получаем:

$(x - 8)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64$.

Полученный многочлен $x^2 - 16x + 64$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $x^2 - 16x + 64$.

г) Для преобразования выражения $(1 + 4y)^2$ используется формула сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном выражении $a = 1$, а $b = 4y$.

Применяя формулу, получаем:

$(1 + 4y)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 4y + (4y)^2 = 1 + 8y + 16y^2$.

Для приведения к стандартному виду расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $y$:

$16y^2 + 8y + 1$.

Ответ: $16y^2 + 8y + 1$.

138 а) $(4m + 5n)^2$;

б) $(2z - 3t)^2$;

в) $(9p - 7q)^2$;

г) $(8r + 11s)^2$.

а) Для раскрытия скобок в выражении $(4m + 5n)^2$ применяется формула сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В этом примере $a = 4m$ и $b = 5n$.

Подставим эти значения в формулу:

$(4m + 5n)^2 = (4m)^2 + 2 \cdot (4m) \cdot (5n) + (5n)^2$.

Теперь вычислим каждый член по отдельности:

Квадрат первого члена: $(4m)^2 = 4^2 \cdot m^2 = 16m^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 4m \cdot 5n = 40mn$.

Квадрат второго члена: $(5n)^2 = 5^2 \cdot n^2 = 25n^2$.

Соединив все части, получаем многочлен:

$16m^2 + 40mn + 25n^2$.

Ответ: $16m^2 + 40mn + 25n^2$.

б) Для раскрытия скобок в выражении $(2z - 3t)^2$ используется формула сокращенного умножения "квадрат разности": $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2z$ и $b = 3t$.

Подставляем в формулу:

$(2z - 3t)^2 = (2z)^2 - 2 \cdot (2z) \cdot (3t) + (3t)^2$.

Вычисляем каждый член:

$(2z)^2 = 2^2 \cdot z^2 = 4z^2$.

$2 \cdot 2z \cdot 3t = 12zt$.

$(3t)^2 = 3^2 \cdot t^2 = 9t^2$.

Объединяем полученные члены:

$4z^2 - 12zt + 9t^2$.

Ответ: $4z^2 - 12zt + 9t^2$.

в) Выражение $(9p - 7q)^2$ также раскрывается с помощью формулы квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 9p$ и $b = 7q$.

Подставляем значения в формулу:

$(9p - 7q)^2 = (9p)^2 - 2 \cdot (9p) \cdot (7q) + (7q)^2$.

Проводим вычисления:

$(9p)^2 = 9^2 \cdot p^2 = 81p^2$.

$2 \cdot 9p \cdot 7q = 126pq$.

$(7q)^2 = 7^2 \cdot q^2 = 49q^2$.

В результате получаем:

$81p^2 - 126pq + 49q^2$.

Ответ: $81p^2 - 126pq + 49q^2$.

г) Для выражения $(8r + 11s)^2$ снова используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = 8r$ и $b = 11s$.

Подставляем в формулу:

$(8r + 11s)^2 = (8r)^2 + 2 \cdot (8r) \cdot (11s) + (11s)^2$.

Вычисляем каждый член:

$(8r)^2 = 8^2 \cdot r^2 = 64r^2$.

$2 \cdot 8r \cdot 11s = 176rs$.

$(11s)^2 = 11^2 \cdot s^2 = 121s^2$.

Собираем все вместе:

$64r^2 + 176rs + 121s^2$.

Ответ: $64r^2 + 176rs + 121s^2$.

139 a) $(3x - 1)(3x + 1);$

б) $(13m - 11n)(13m + 11n);$

в) $(10p + 7q)(7q - 10p);$

г) $(4 - 5y)(5y + 4).$

а) Для решения данного примера используется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В выражении $(3x - 1)(3x + 1)$ в качестве $a$ выступает $3x$, а в качестве $b$ выступает $1$.

Применим формулу:

$(3x - 1)(3x + 1) = (3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1$.

Ответ: $9x^2 - 1$.

б) Данный пример также решается с помощью формулы разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В выражении $(13m - 11n)(13m + 11n)$ имеем $a = 13m$ и $b = 11n$.

Подставим эти значения в формулу:

$(13m - 11n)(13m + 11n) = (13m)^2 - (11n)^2 = 169m^2 - 121n^2$.

Ответ: $169m^2 - 121n^2$.

в) Чтобы применить формулу разности квадратов, преобразуем данное выражение. Воспользуемся переместительным свойством сложения в первой скобке: $(10p + 7q)$ можно записать как $(7q + 10p)$.

Теперь выражение имеет вид: $(7q + 10p)(7q - 10p)$.

Это соответствует формуле $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = 7q$ и $b = 10p$.

Применим формулу:

$(7q + 10p)(7q - 10p) = (7q)^2 - (10p)^2 = 49q^2 - 100p^2$.

Ответ: $49q^2 - 100p^2$.

г) В данном выражении $(4 - 5y)(5y + 4)$ также можно применить формулу разности квадратов. Для наглядности поменяем слагаемые местами во второй скобке: $(5y + 4) = (4 + 5y)$.

Получаем выражение вида: $(4 - 5y)(4 + 5y)$.

Теперь применяем формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 4$ и $b = 5y$.

$(4 - 5y)(4 + 5y) = 4^2 - (5y)^2 = 16 - 25y^2$.

Ответ: $16 - 25y^2$.

140 а) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9);$

б) $(2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2);$

В) $(x + 1)(x^2 - x + 1);$

Г) $(7y^2 - 1)(49y^4 + 7y^2 + 1).$

а) Для упрощения данного выражения используется формула сокращенного умножения "сумма кубов": $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В выражении $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$ мы можем определить, что $a = x$ и $b = 3$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(x^2 - 3x + 9)$ части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = x^2$

$ab = x \cdot 3 = 3x$

$b^2 = 3^2 = 9$

Все компоненты совпадают, следовательно, мы можем применить формулу:

$(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$.

Ответ: $x^3 + 27$.

б) Для упрощения этого выражения используется формула сокращенного умножения "разность кубов": $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В выражении $(2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2)$ мы можем определить, что $a = 2a$ и $b = 3b$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(4a^2 + 6ab + 9b^2)$ части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = (2a)^2 = 4a^2$

$ab = (2a)(3b) = 6ab$

$b^2 = (3b)^2 = 9b^2$

Все компоненты совпадают, значит, применяем формулу:

$(2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2) = (2a)^3 - (3b)^3 = 8a^3 - 27b^3$.

Ответ: $8a^3 - 27b^3$.

в) Данное выражение упрощается с помощью формулы "сумма кубов": $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В выражении $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ мы видим, что $a = x$ и $b = 1$.

Проверяем вторую скобку $(x^2 - x + 1)$ на соответствие части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = x^2$

$ab = x \cdot 1 = x$

$b^2 = 1^2 = 1$

Компоненты совпадают, поэтому применяем формулу:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.

Ответ: $x^3 + 1$.

г) Здесь применяется формула "разность кубов": $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В выражении $(7y^2 - 1)(49y^4 + 7y^2 + 1)$ мы можем определить, что $a = 7y^2$ и $b = 1$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(49y^4 + 7y^2 + 1)$ части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = (7y^2)^2 = 49y^4$

$ab = (7y^2) \cdot 1 = 7y^2$

$b^2 = 1^2 = 1$

Поскольку все компоненты совпадают, мы можем применить формулу:

$(7y^2 - 1)(49y^4 + 7y^2 + 1) = (7y^2)^3 - 1^3 = 343y^6 - 1$.

Ответ: $343y^6 - 1$.

Упростите выражение:

141 a) $(1 - a)(2 + b) - (2 + a)(1 - b);$

б) $(2a - b)(a + b) - (a + 2b)(a - b);$

в) $(3 - m)(8 + n) + (m - 4)(n + 6);$

г) $(9m - 2n)(2m + n) - (6m + n)(3m - 2n).$

а) Для упрощения выражения $(1 - a)(2 + b) - (2 + a)(1 - b)$ необходимо раскрыть скобки, перемножив многочлены, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскроем первую пару скобок:
$(1 - a)(2 + b) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot b - a \cdot 2 - a \cdot b = 2 + b - 2a - ab$

2. Раскроем вторую пару скобок:
$(2 + a)(1 - b) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-b) + a \cdot 1 + a \cdot (-b) = 2 - 2b + a - ab$

3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых в этой скобке на противоположные:
$(2 + b - 2a - ab) - (2 - 2b + a - ab) = 2 + b - 2a - ab - 2 + 2b - a + ab$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2 - 2) + (b + 2b) + (-2a - a) + (-ab + ab) = 0 + 3b - 3a + 0 = 3b - 3a$

Ответ: $3b - 3a$

б) Упростим выражение $(2a - b)(a + b) - (a + 2b)(a - b)$.

1. Раскроем скобки в первом произведении:
$(2a - b)(a + b) = 2a \cdot a + 2a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = 2a^2 + 2ab - ab - b^2 = 2a^2 + ab - b^2$

2. Раскроем скобки во втором произведении:
$(a + 2b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + 2b \cdot a + 2b \cdot (-b) = a^2 - ab + 2ab - 2b^2 = a^2 + ab - 2b^2$

3. Вычтем второе выражение из первого:
$(2a^2 + ab - b^2) - (a^2 + ab - 2b^2) = 2a^2 + ab - b^2 - a^2 - ab + 2b^2$

4. Приведем подобные слагаемые:
$(2a^2 - a^2) + (ab - ab) + (-b^2 + 2b^2) = a^2 + 0 + b^2 = a^2 + b^2$

Ответ: $a^2 + b^2$

в) Упростим выражение $(3 - m)(8 + n) + (m - 4)(n + 6)$.

1. Раскроем скобки в первом слагаемом:
$(3 - m)(8 + n) = 3 \cdot 8 + 3 \cdot n - m \cdot 8 - m \cdot n = 24 + 3n - 8m - mn$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом:
$(m - 4)(n + 6) = m \cdot n + m \cdot 6 - 4 \cdot n - 4 \cdot 6 = mn + 6m - 4n - 24$

3. Сложим полученные выражения:
$(24 + 3n - 8m - mn) + (mn + 6m - 4n - 24) = 24 + 3n - 8m - mn + mn + 6m - 4n - 24$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(24 - 24) + (-8m + 6m) + (3n - 4n) + (-mn + mn) = 0 - 2m - n + 0 = -2m - n$

Ответ: $-2m - n$

г) Упростим выражение $(9m - 2n)(2m + n) - (6m + n)(3m - 2n)$.

1. Раскроем скобки в уменьшаемом:
$(9m - 2n)(2m + n) = 9m \cdot 2m + 9m \cdot n - 2n \cdot 2m - 2n \cdot n = 18m^2 + 9mn - 4mn - 2n^2 = 18m^2 + 5mn - 2n^2$

2. Раскроем скобки в вычитаемом:
$(6m + n)(3m - 2n) = 6m \cdot 3m + 6m \cdot (-2n) + n \cdot 3m + n \cdot (-2n) = 18m^2 - 12mn + 3mn - 2n^2 = 18m^2 - 9mn - 2n^2$

3. Выполним вычитание:
$(18m^2 + 5mn - 2n^2) - (18m^2 - 9mn - 2n^2) = 18m^2 + 5mn - 2n^2 - 18m^2 + 9mn + 2n^2$

4. Приведем подобные слагаемые:
$(18m^2 - 18m^2) + (5mn + 9mn) + (-2n^2 + 2n^2) = 0 + 14mn + 0 = 14mn$

Ответ: $14mn$

142 a) $(5 - x)(5 + x) + (x - 3)^2;$

б) $b^2(a + b) + (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2);$

в) $(3a + b)^2 - (a + b)(a - b);$

г) $(y + 3)(y^2 - 3y + 9) - y(y^2 - 2).$

а) Чтобы упростить выражение $(5 - x)(5 + x) + (x - 3)^2$, применим формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $(5 - x)(5 + x)$ преобразуется в $5^2 - x^2 = 25 - x^2$.
Второй член $(x - 3)^2$ преобразуется в $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(25 - x^2) + (x^2 - 6x + 9) = 25 - x^2 + x^2 - 6x + 9$.
Приведем подобные слагаемые: $-x^2$ и $x^2$ взаимно уничтожаются. Остается $25 - 6x + 9$.
Сложим числа: $25 + 9 = 34$.
Итоговое выражение: $34 - 6x$.
Ответ: $34 - 6x$.

б) Рассмотрим выражение $b^2(a + b) + (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)$.
В первом члене раскроем скобки: $b^2(a + b) = b^2 \cdot a + b^2 \cdot b = ab^2 + b^3$.
Второй член $(2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)$ соответствует формуле разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$, где $x=2a$ и $y=b$.
Применяя формулу, получаем: $(2a)^3 - b^3 = 8a^3 - b^3$.
Теперь сложим оба результата:
$(ab^2 + b^3) + (8a^3 - b^3) = ab^2 + b^3 + 8a^3 - b^3$.
Приведем подобные слагаемые: $b^3$ и $-b^3$ взаимно уничтожаются.
Остается $ab^2 + 8a^3$.
Ответ: $8a^3 + ab^2$.

в) Упростим выражение $(3a + b)^2 - (a + b)(a - b)$.
Первый член $(3a + b)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot b + b^2 = 9a^2 + 6ab + b^2$.
Второй член $(a + b)(a - b)$ является разностью квадратов $a^2 - b^2$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(9a^2 + 6ab + b^2) - (a^2 - b^2) = 9a^2 + 6ab + b^2 - a^2 + b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9a^2 - a^2) + 6ab + (b^2 + b^2) = 8a^2 + 6ab + 2b^2$.
Ответ: $8a^2 + 6ab + 2b^2$.

г) Упростим выражение $(y + 3)(y^2 - 3y + 9) - y(y^2 - 2)$.
Первый член $(y + 3)(y^2 - 3y + 9)$ соответствует формуле суммы кубов $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$, где $x=y$ и $y=3$.
Применяя формулу, получаем: $y^3 + 3^3 = y^3 + 27$.
Во втором члене раскроем скобки: $-y(y^2 - 2) = -y \cdot y^2 - y \cdot (-2) = -y^3 + 2y$.
Теперь объединим оба результата:
$(y^3 + 27) + (-y^3 + 2y) = y^3 + 27 - y^3 + 2y$.
Приведем подобные слагаемые: $y^3$ и $-y^3$ взаимно уничтожаются.
Остается $27 + 2y$.
Ответ: $2y + 27$.

143 Докажите тождество:

а) $(x - 5)^2 - (x - 7)(x - 3) = 4;$

б) $(x + 3)(x - 3) - (x - 9)(x + 1) = 8x;$

в) $(x - 11)(x - 1) - (x + 6)^2 = -25;$

г) $(x + 1)(x - 4) - (x - 2)(x + 2) = -3x.$

а) Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и правило умножения многочленов.
$(x - 5)^2 - (x - 7)(x - 3) = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - (x \cdot x - 3x - 7x + 21) = $
$= (x^2 - 10x + 25) - (x^2 - 10x + 21)$
Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$x^2 - 10x + 25 - x^2 + 10x - 21$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-10x + 10x) + (25 - 21) = 0 + 0 + 4 = 4$
Левая часть равна $4$, правая часть также равна $4$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть равенства. Для первого слагаемого используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Второе слагаемое раскроем по правилу умножения многочленов.
$(x + 3)(x - 3) - (x - 9)(x + 1) = (x^2 - 3^2) - (x \cdot x + 1 \cdot x - 9 \cdot x - 9 \cdot 1) = $
$= (x^2 - 9) - (x^2 - 8x - 9)$
Раскроем скобки:
$x^2 - 9 - x^2 + 8x + 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 8x + (-9 + 9) = 0 + 8x + 0 = 8x$
Левая часть равна $8x$, правая часть также равна $8x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов для первого слагаемого и формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для второго.
$(x - 11)(x - 1) - (x + 6)^2 = (x^2 - x - 11x + 11) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) = $
$= (x^2 - 12x + 11) - (x^2 + 12x + 36)$
Раскроем скобки:
$x^2 - 12x + 11 - x^2 - 12x - 36$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-12x - 12x) + (11 - 36) = -24x - 25$
В результате преобразования левая часть оказалась равна $-24x - 25$, а правая часть по условию равна $-25$. Равенство $-24x - 25 = -25$ истинно только при $-24x=0$, то есть при $x=0$. Так как равенство не выполняется для всех значений $x$, оно не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: Равенство не является тождеством.

г) Преобразуем левую часть равенства. Первое слагаемое раскроем по правилу умножения многочленов, а для второго применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(x + 1)(x - 4) - (x - 2)(x + 2) = (x^2 - 4x + x - 4) - (x^2 - 2^2) = $
$= (x^2 - 3x - 4) - (x^2 - 4)$
Раскроем скобки:
$x^2 - 3x - 4 - x^2 + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) - 3x + (-4 + 4) = 0 - 3x + 0 = -3x$
Левая часть равна $-3x$, правая часть также равна $-3x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Решите уравнение:

144 a) $(x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x + 4) = 0;$

б) $10x^2 - (2x - 3)(5x - 1) = 31;$

в) $(x - 2)(x - 3) - (x + 1)(x - 4) = 0;$

г) $12x^2 - (4x - 3)(3x + 1) = -2.$

а)

Для решения уравнения $(x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x + 4) = 0$ раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 4x + 3x + 12) = 0$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 7x + 12) = 0$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед вторым выражением:

$x^2 + 3x + 2 - x^2 - 7x - 12 = 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^2 - x^2) + (3x - 7x) + (2 - 12) = 0$

$-4x - 10 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем $-10$ в правую часть с противоположным знаком:

$-4x = 10$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-4$:

$x = \frac{10}{-4} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $-2.5$.

б)

Для решения уравнения $10x^2 - (2x - 3)(5x - 1) = 31$ сначала раскроем скобки произведения $(2x - 3)(5x - 1)$:

$(2x - 3)(5x - 1) = 2x \cdot 5x + 2x \cdot (-1) - 3 \cdot 5x - 3 \cdot (-1) = 10x^2 - 2x - 15x + 3 = 10x^2 - 17x + 3$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$10x^2 - (10x^2 - 17x + 3) = 31$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых в скобках на противоположные:

$10x^2 - 10x^2 + 17x - 3 = 31$

Приведем подобные слагаемые:

$17x - 3 = 31$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем $-3$ в правую часть:

$17x = 31 + 3$

$17x = 34$

Найдем $x$, разделив обе части на $17$:

$x = \frac{34}{17} = 2$

Ответ: $2$.

в)

Для решения уравнения $(x - 2)(x - 3) - (x + 1)(x - 4) = 0$ раскроем скобки:

$(x^2 - 3x - 2x + 6) - (x^2 - 4x + x - 4) = 0$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(x^2 - 5x + 6) - (x^2 - 3x - 4) = 0$

Раскроем скобки, учитывая знак минус:

$x^2 - 5x + 6 - x^2 + 3x + 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(x^2 - x^2) + (-5x + 3x) + (6 + 4) = 0$

$-2x + 10 = 0$

Решим линейное уравнение. Перенесем $10$ в правую часть:

$-2x = -10$

Найдем $x$, разделив обе части на $-2$:

$x = \frac{-10}{-2} = 5$

Ответ: $5$.

г)

Для решения уравнения $12x^2 - (4x - 3)(3x + 1) = -2$ раскроем скобки произведения $(4x - 3)(3x + 1)$:

$(4x - 3)(3x + 1) = 4x \cdot 3x + 4x \cdot 1 - 3 \cdot 3x - 3 \cdot 1 = 12x^2 + 4x - 9x - 3 = 12x^2 - 5x - 3$

Подставим результат в уравнение:

$12x^2 - (12x^2 - 5x - 3) = -2$

Раскроем скобки:

$12x^2 - 12x^2 + 5x + 3 = -2$

Приведем подобные слагаемые:

$5x + 3 = -2$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем $3$ в правую часть:

$5x = -2 - 3$

$5x = -5$

Найдем $x$, разделив обе части на $5$:

$x = \frac{-5}{5} = -1$

Ответ: $-1$.

145 a) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0;$

б) $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11;$

в) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2);$

г) $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0.$

а) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0$

Для решения уравнения раскроем скобки. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для выражения $(3x - 2)^2$.

$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0$

Раскроем скобки, поменяв знаки внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак "минус":

$9x^2 - 1 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $9x^2$ и $-9x^2$ взаимно уничтожаются.

$(9x^2 - 9x^2) + 12x + (-1 - 4) = 0$

$12x - 5 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$12x = 5$

Найдем $x$, разделив обе части на 12:

$x = \frac{5}{12}$

Ответ: $x = \frac{5}{12}$

б) $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого члена используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а для второго — распределительный закон умножения.

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 - (2x \cdot 4 + 2x \cdot 2x) = 11$

$4x^2 - 12x + 9 - (8x + 4x^2) = 11$

$4x^2 - 12x + 9 - 8x - 4x^2 = 11$

Приведем подобные слагаемые. Члены $4x^2$ и $-4x^2$ взаимно уничтожаются.

$(4x^2 - 4x^2) + (-12x - 8x) + 9 = 11$

$-20x + 9 = 11$

Перенесем 9 в правую часть с противоположным знаком:

$-20x = 11 - 9$

$-20x = 2$

Найдем $x$, разделив обе части на -20:

$x = \frac{2}{-20} = -\frac{1}{10} = -0.1$

Ответ: $x = -0.1$

в) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в правой — распределительный закон.

$x + ((5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2) = 25 \cdot 1 + 25 \cdot x^2$

$x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$25x^2 + (x + 20x) + 4 = 25 + 25x^2$

$25x^2 + 21x + 4 = 25 + 25x^2$

Перенесем члены с $x^2$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Член $25x^2$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому он сокращается.

$25x^2 - 25x^2 + 21x = 25 - 4$

$21x = 21$

Найдем $x$:

$x = \frac{21}{21} = 1$

Ответ: $x = 1$

г) $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0$

Первое произведение $(4x - 3)(3 + 4x)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(4x - 3)(4x + 3) = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$

Раскроем скобки во втором члене уравнения:

$-2x(8x - 1) = -2x \cdot 8x - 2x \cdot (-1) = -16x^2 + 2x$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(16x^2 - 9) + (-16x^2 + 2x) = 0$

$16x^2 - 9 - 16x^2 + 2x = 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $16x^2$ и $-16x^2$ взаимно уничтожаются.

$(16x^2 - 16x^2) + 2x - 9 = 0$

$2x - 9 = 0$

Перенесем -9 в правую часть:

$2x = 9$

Найдем $x$:

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $x = 4.5$