Номер 142, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 142, страница 234.

Условие.

142 a) $(5 - x)(5 + x) + (x - 3)^2;$

б) $b^2(a + b) + (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2);$

в) $(3a + b)^2 - (a + b)(a - b);$

г) $(y + 3)(y^2 - 3y + 9) - y(y^2 - 2).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы упростить выражение $(5 - x)(5 + x) + (x - 3)^2$, применим формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $(5 - x)(5 + x)$ преобразуется в $5^2 - x^2 = 25 - x^2$.
Второй член $(x - 3)^2$ преобразуется в $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(25 - x^2) + (x^2 - 6x + 9) = 25 - x^2 + x^2 - 6x + 9$.
Приведем подобные слагаемые: $-x^2$ и $x^2$ взаимно уничтожаются. Остается $25 - 6x + 9$.
Сложим числа: $25 + 9 = 34$.
Итоговое выражение: $34 - 6x$.
Ответ: $34 - 6x$.

б) Рассмотрим выражение $b^2(a + b) + (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)$.
В первом члене раскроем скобки: $b^2(a + b) = b^2 \cdot a + b^2 \cdot b = ab^2 + b^3$.
Второй член $(2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)$ соответствует формуле разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$, где $x=2a$ и $y=b$.
Применяя формулу, получаем: $(2a)^3 - b^3 = 8a^3 - b^3$.
Теперь сложим оба результата:
$(ab^2 + b^3) + (8a^3 - b^3) = ab^2 + b^3 + 8a^3 - b^3$.
Приведем подобные слагаемые: $b^3$ и $-b^3$ взаимно уничтожаются.
Остается $ab^2 + 8a^3$.
Ответ: $8a^3 + ab^2$.

в) Упростим выражение $(3a + b)^2 - (a + b)(a - b)$.
Первый член $(3a + b)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot b + b^2 = 9a^2 + 6ab + b^2$.
Второй член $(a + b)(a - b)$ является разностью квадратов $a^2 - b^2$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(9a^2 + 6ab + b^2) - (a^2 - b^2) = 9a^2 + 6ab + b^2 - a^2 + b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9a^2 - a^2) + 6ab + (b^2 + b^2) = 8a^2 + 6ab + 2b^2$.
Ответ: $8a^2 + 6ab + 2b^2$.

г) Упростим выражение $(y + 3)(y^2 - 3y + 9) - y(y^2 - 2)$.
Первый член $(y + 3)(y^2 - 3y + 9)$ соответствует формуле суммы кубов $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$, где $x=y$ и $y=3$.
Применяя формулу, получаем: $y^3 + 3^3 = y^3 + 27$.
Во втором члене раскроем скобки: $-y(y^2 - 2) = -y \cdot y^2 - y \cdot (-2) = -y^3 + 2y$.
Теперь объединим оба результата:
$(y^3 + 27) + (-y^3 + 2y) = y^3 + 27 - y^3 + 2y$.
Приведем подобные слагаемые: $y^3$ и $-y^3$ взаимно уничтожаются.
Остается $27 + 2y$.
Ответ: $2y + 27$.