Номер 145, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 145, страница 234.

Условие.

145 a) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0;$

б) $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11;$

в) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2);$

г) $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

а) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0$

Для решения уравнения раскроем скобки. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для выражения $(3x - 2)^2$.

$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0$

Раскроем скобки, поменяв знаки внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак "минус":

$9x^2 - 1 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $9x^2$ и $-9x^2$ взаимно уничтожаются.

$(9x^2 - 9x^2) + 12x + (-1 - 4) = 0$

$12x - 5 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$12x = 5$

Найдем $x$, разделив обе части на 12:

$x = \frac{5}{12}$

Ответ: $x = \frac{5}{12}$

б) $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого члена используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а для второго — распределительный закон умножения.

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 - (2x \cdot 4 + 2x \cdot 2x) = 11$

$4x^2 - 12x + 9 - (8x + 4x^2) = 11$

$4x^2 - 12x + 9 - 8x - 4x^2 = 11$

Приведем подобные слагаемые. Члены $4x^2$ и $-4x^2$ взаимно уничтожаются.

$(4x^2 - 4x^2) + (-12x - 8x) + 9 = 11$

$-20x + 9 = 11$

Перенесем 9 в правую часть с противоположным знаком:

$-20x = 11 - 9$

$-20x = 2$

Найдем $x$, разделив обе части на -20:

$x = \frac{2}{-20} = -\frac{1}{10} = -0.1$

Ответ: $x = -0.1$

в) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в правой — распределительный закон.

$x + ((5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2) = 25 \cdot 1 + 25 \cdot x^2$

$x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$25x^2 + (x + 20x) + 4 = 25 + 25x^2$

$25x^2 + 21x + 4 = 25 + 25x^2$

Перенесем члены с $x^2$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Член $25x^2$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому он сокращается.

$25x^2 - 25x^2 + 21x = 25 - 4$

$21x = 21$

Найдем $x$:

$x = \frac{21}{21} = 1$

Ответ: $x = 1$

г) $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0$

Первое произведение $(4x - 3)(3 + 4x)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(4x - 3)(4x + 3) = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$

Раскроем скобки во втором члене уравнения:

$-2x(8x - 1) = -2x \cdot 8x - 2x \cdot (-1) = -16x^2 + 2x$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(16x^2 - 9) + (-16x^2 + 2x) = 0$

$16x^2 - 9 - 16x^2 + 2x = 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $16x^2$ и $-16x^2$ взаимно уничтожаются.

$(16x^2 - 16x^2) + 2x - 9 = 0$

$2x - 9 = 0$

Перенесем -9 в правую часть:

$2x = 9$

Найдем $x$:

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $x = 4.5$