Номер 143, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 143, страница 234.

Условие.

143 Докажите тождество:

а) $(x - 5)^2 - (x - 7)(x - 3) = 4;$

б) $(x + 3)(x - 3) - (x - 9)(x + 1) = 8x;$

в) $(x - 11)(x - 1) - (x + 6)^2 = -25;$

г) $(x + 1)(x - 4) - (x - 2)(x + 2) = -3x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и правило умножения многочленов.
$(x - 5)^2 - (x - 7)(x - 3) = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - (x \cdot x - 3x - 7x + 21) = $
$= (x^2 - 10x + 25) - (x^2 - 10x + 21)$
Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$x^2 - 10x + 25 - x^2 + 10x - 21$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-10x + 10x) + (25 - 21) = 0 + 0 + 4 = 4$
Левая часть равна $4$, правая часть также равна $4$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть равенства. Для первого слагаемого используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Второе слагаемое раскроем по правилу умножения многочленов.
$(x + 3)(x - 3) - (x - 9)(x + 1) = (x^2 - 3^2) - (x \cdot x + 1 \cdot x - 9 \cdot x - 9 \cdot 1) = $
$= (x^2 - 9) - (x^2 - 8x - 9)$
Раскроем скобки:
$x^2 - 9 - x^2 + 8x + 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 8x + (-9 + 9) = 0 + 8x + 0 = 8x$
Левая часть равна $8x$, правая часть также равна $8x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов для первого слагаемого и формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для второго.
$(x - 11)(x - 1) - (x + 6)^2 = (x^2 - x - 11x + 11) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) = $
$= (x^2 - 12x + 11) - (x^2 + 12x + 36)$
Раскроем скобки:
$x^2 - 12x + 11 - x^2 - 12x - 36$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-12x - 12x) + (11 - 36) = -24x - 25$
В результате преобразования левая часть оказалась равна $-24x - 25$, а правая часть по условию равна $-25$. Равенство $-24x - 25 = -25$ истинно только при $-24x=0$, то есть при $x=0$. Так как равенство не выполняется для всех значений $x$, оно не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: Равенство не является тождеством.

г) Преобразуем левую часть равенства. Первое слагаемое раскроем по правилу умножения многочленов, а для второго применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(x + 1)(x - 4) - (x - 2)(x + 2) = (x^2 - 4x + x - 4) - (x^2 - 2^2) = $
$= (x^2 - 3x - 4) - (x^2 - 4)$
Раскроем скобки:
$x^2 - 3x - 4 - x^2 + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) - 3x + (-4 + 4) = 0 - 3x + 0 = -3x$
Левая часть равна $-3x$, правая часть также равна $-3x$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.