Страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

146 а) $(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9) = 0;$

б) $(x - 1)(x^2 + x + 1) = -9;$

в) $(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1) = 0;$

г) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 7.$

а) $(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9) = 0$

Данное уравнение можно решить, применив формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 2x$ и $b = 3$. Левая часть уравнения полностью соответствует этой формуле.

Свернем левую часть уравнения:

$(2x)^3 + 3^3 = 0$

$8x^3 + 27 = 0$

Теперь решим полученное кубическое уравнение:

$8x^3 = -27$

$x^3 = -\frac{27}{8}$

$x = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$

$x = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: $-1.5$

б) $(x - 1)(x^2 + x + 1) = -9$

Для решения этого уравнения используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = x$ и $b = 1$.

Преобразуем левую часть уравнения по формуле:

$x^3 - 1^3 = -9$

$x^3 - 1 = -9$

Решим уравнение:

$x^3 = -9 + 1$

$x^3 = -8$

$x = \sqrt[3]{-8}$

$x = -2$

Ответ: $-2$

в) $(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1) = 0$

Как и в предыдущем примере, здесь применяется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В этом уравнении $a = 3x$ и $b = 1$.

Сворачиваем левую часть:

$(3x)^3 - 1^3 = 0$

$27x^3 - 1 = 0$

Решаем полученное уравнение:

$27x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{27}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}}$

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

г) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 7$

Здесь мы снова видим формулу сокращенного умножения, на этот раз — сумму кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 2$.

Применим формулу к левой части уравнения:

$x^3 + 2^3 = 7$

$x^3 + 8 = 7$

Решим простое кубическое уравнение:

$x^3 = 7 - 8$

$x^3 = -1$

$x = \sqrt[3]{-1}$

$x = -1$

Ответ: $-1$

Разложите многочлен на множители:

147 а) $15a - 25b;$

б) $3a^2 + ab;$

в) $28c + 21b;$

г) $4dc^2 - 2c.$

а) Чтобы разложить на множители многочлен $15a - 25b$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для его членов и вынести его за скобки.

Сначала найдем НОД для коэффициентов 15 и 25. Разложим их на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$25 = 5 \cdot 5$

Общим множителем для чисел 15 и 25 является 5.

Переменные $a$ и $b$ различны, поэтому у них нет общего буквенного множителя.

Таким образом, общий множитель для всего выражения — это 5. Выносим его за скобки:

$15a - 25b = 5 \cdot 3a - 5 \cdot 5b = 5(3a - 5b)$

Ответ: $5(3a - 5b)$

б) В многочлене $3a^2 + ab$ найдем общий множитель.

Коэффициенты 3 и 1 (у слагаемого $ab$) не имеют общих делителей, кроме 1.

Теперь рассмотрим переменные. Первый член $3a^2$ содержит $a^2$ (то есть $a \cdot a$), а второй член $ab$ содержит $a$. Общим множителем для переменных является $a$. Переменная $b$ есть только во втором слагаемом.

Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $a$.

$3a^2 + ab = a \cdot 3a + a \cdot b = a(3a + b)$

Ответ: $a(3a + b)$

в) Рассмотрим многочлен $28c + 21b$.

Найдем НОД для коэффициентов 28 и 21.

$28 = 4 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

Общий множитель для чисел 28 и 21 равен 7.

Переменные $c$ и $b$ различны, так что общего буквенного множителя у них нет.

Выносим общий множитель 7 за скобки:

$28c + 21b = 7 \cdot 4c + 7 \cdot 3b = 7(4c + 3b)$

Ответ: $7(4c + 3b)$

г) В многочлене $4dc^2 - 2c$ найдем общий множитель.

Найдем НОД для коэффициентов 4 и 2. НОД(4, 2) = 2.

Теперь найдем общий множитель для переменных. Первый член $4dc^2$ содержит $d$ и $c^2$ ($c \cdot c$). Второй член $2c$ содержит $c$. Общим буквенным множителем является $c$. Переменная $d$ есть только в первом члене.

Общий множитель для всего выражения равен произведению общих множителей коэффициентов и переменных, то есть $2c$.

Выносим $2c$ за скобки. Для этого каждый член многочлена делим на $2c$:

$4dc^2 - 2c = 2c \cdot \frac{4dc^2}{2c} - 2c \cdot \frac{2c}{2c} = 2c(2dc - 1)$

Ответ: $2c(2dc - 1)$

148 a) $12a^2b + 3ab^2;$

б) $2a^3 - a^2b + 2a;$

в) $5cd^3 - 15c^3d;$

г) $5b^2c^2 + 10c^3 - 5bc.$

а) $12a^2b + 3ab^2$

Чтобы разложить данный многочлен на множители, необходимо найти общий множитель для каждого члена многочлена и вынести его за скобки.
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 12 и 3. НОД(12, 3) = 3.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Для переменной $a$ общим множителем будет $a$ (поскольку $a^2 = a \cdot a$ и $a=a^1$). Для переменной $b$ общим множителем будет $b$ (поскольку $b=b^1$ и $b^2 = b \cdot b$).
3. Таким образом, общий множитель для всего выражения — это $3ab$.
4. Теперь вынесем общий множитель за скобки, разделив каждый член многочлена на $3ab$:
Первый член: $12a^2b \div (3ab) = 4a$
Второй член: $3ab^2 \div (3ab) = b$
В результате получаем: $3ab(4a + b)$.

Ответ: $3ab(4a + b)$

б) $2a^3 - a^2b + 2a$

1. Находим НОД для числовых коэффициентов 2, -1 и 2. НОД(2, 1, 2) = 1.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Переменная $a$ присутствует во всех членах многочлена ($a^3$, $a^2$, $a$). Наименьшая степень $a$ равна 1, поэтому общий множитель — $a$. Переменная $b$ есть только во втором члене, поэтому она не является общим множителем.
3. Общий множитель для всего выражения — это $a$.
4. Вынесем $a$ за скобки:
$2a^3 \div a = 2a^2$
$-a^2b \div a = -ab$
$2a \div a = 2$
В результате получаем: $a(2a^2 - ab + 2)$.

Ответ: $a(2a^2 - ab + 2)$

в) $5cd^3 - 15c^3d$

1. Находим НОД для числовых коэффициентов 5 и 15. НОД(5, 15) = 5.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Для переменной $c$ это $c^1=c$. Для переменной $d$ это $d^1=d$.
3. Общий множитель для всего выражения — это $5cd$.
4. Вынесем $5cd$ за скобки:
$5cd^3 \div (5cd) = d^2$
$-15c^3d \div (5cd) = -3c^2$
В результате получаем: $5cd(d^2 - 3c^2)$.

Ответ: $5cd(d^2 - 3c^2)$

г) $5b^2c^2 + 10c^3 - 5bc$

1. Находим НОД для числовых коэффициентов 5, 10 и 5. НОД(5, 10, 5) = 5.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Переменная $c$ присутствует во всех членах ($c^2$, $c^3$, $c$). Наименьшая степень $c$ равна 1, поэтому общий множитель — $c$. Переменная $b$ отсутствует во втором члене, поэтому не является общей.
3. Общий множитель для всего выражения — это $5c$.
4. Вынесем $5c$ за скобки:
$5b^2c^2 \div (5c) = b^2c$
$10c^3 \div (5c) = 2c^2$
$-5bc \div (5c) = -b$
В результате получаем: $5c(b^2c + 2c^2 - b)$.

Ответ: $5c(b^2c + 2c^2 - b)$

149 a) $3(a + b) - a(a + b);$

б) $(x - y)^2 + 2y(x - y);$

В) $m(m - n) + 2n(m - n);$

Г) $3q(p + q) - (p + q)^2.$

а) В данном выражении $3(a + b) - a(a + b)$ общим множителем является выражение в скобках $(a + b)$. Вынесем этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого останется $3$, а от второго $-a$.
$3(a + b) - a(a + b) = (a + b)(3 - a)$.
Ответ: $(a + b)(3 - a)$.

б) В выражении $(x - y)^2 + 2y(x - y)$ мы видим общий множитель $(x - y)$, так как $(x - y)^2$ это $(x - y)(x - y)$. Вынесем $(x - y)$ за скобки.
$(x - y)^2 + 2y(x - y) = (x - y) \cdot (x - y) + 2y \cdot (x - y) = (x - y)((x - y) + 2y)$.
Теперь упростим выражение во второй скобке: $x - y + 2y = x + y$.
В результате получаем: $(x - y)(x + y)$.
Ответ: $(x - y)(x + y)$.

в) В выражении $m(m - n) + 2n(m - n)$ общим множителем для обоих слагаемых является $(m - n)$. Выносим его за скобки. От первого слагаемого остается $m$, от второго $+2n$.
$m(m - n) + 2n(m - n) = (m - n)(m + 2n)$.
Ответ: $(m - n)(m + 2n)$.

г) В выражении $3q(p + q) - (p + q)^2$ общий множитель - это $(p + q)$. Вынесем его за скобки.
$3q(p + q) - (p + q)^2 = (p + q)(3q - (p + q))$.
Далее упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки. Обратите внимание на знак минус перед скобкой.
$3q - (p + q) = 3q - p - q = 2q - p$.
В итоге получаем: $(p + q)(2q - p)$.
Ответ: $(p + q)(2q - p)$.

150 а) $2x - 2y + x^2 - xy;$

б) $4m^2 - 8m - mn + 2n;$

В) $a^2 + ab - 7a - 7b;$

Г) $6pq + 3q^2 + 2p + q.$

а) $2x - 2y + x^2 - xy$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое слагаемые.

$ (2x - 2y) + (x^2 - xy) $

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$ 2(x - y) + x(x - y) $

Теперь мы видим, что у обеих групп есть общий множитель $(x - y)$. Вынесем его за скобки:

$ (x - y)(2 + x) $

Ответ: $(x+2)(x-y)$

б) $4m^2 - 8m - mn + 2n$

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым.

$ (4m^2 - 8m) + (-mn + 2n) $

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $4m$, во второй группе это $-n$.

$ 4m(m - 2) - n(m - 2) $

Общий множитель для получившихся слагаемых — это $(m - 2)$. Вынесем его за скобки.

$ (m - 2)(4m - n) $

Ответ: $(4m-n)(m-2)$

в) $a^2 + ab - 7a - 7b$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое.

$ (a^2 + ab) + (-7a - 7b) $

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп. В первой группе это $a$, во второй — $-7$.

$ a(a + b) - 7(a + b) $

Теперь вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки.

$ (a + b)(a - 7) $

Ответ: $(a-7)(a+b)$

г) $6pq + 3q^2 + 2p + q$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым.

$ (6pq + 3q^2) + (2p + q) $

Вынесем общий множитель за скобки в первой группе. Это $3q$. Вторая группа уже является общим множителем, который можно представить как $1 \cdot (2p + q)$.

$ 3q(2p + q) + 1(2p + q) $

Вынесем общий множитель $(2p + q)$ за скобки.

$ (2p + q)(3q + 1) $

Ответ: $(3q+1)(2p+q)$

151 a) $x^2 - 121$;

б) $49m^2 - 4$;

в) $169 - p^2$;

г) $64 - 25n^2$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^2 - 121$, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В данном случае первый член $a^2 = x^2$, значит $a = x$. Второй член $b^2 = 121$, значит $b = \sqrt{121} = 11$. Подставим значения $a$ и $b$ в формулу:

$x^2 - 121 = x^2 - 11^2 = (x - 11)(x + 11)$.

Ответ: $(x - 11)(x + 11)$.

б) Рассмотрим выражение $49m^2 - 4$. Это также разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Первый член $a^2 = 49m^2$. Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень: $a = \sqrt{49m^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{m^2} = 7m$. Второй член $b^2 = 4$, значит $b = \sqrt{4} = 2$. Подставляем $a = 7m$ и $b = 2$ в формулу:

$49m^2 - 4 = (7m)^2 - 2^2 = (7m - 2)(7m + 2)$.

Ответ: $(7m - 2)(7m + 2)$.

в) Выражение $169 - p^2$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Здесь $a^2 = 169$, следовательно $a = \sqrt{169} = 13$. Второй член $b^2 = p^2$, следовательно $b = p$. Применяем формулу, подставляя наши значения:

$169 - p^2 = 13^2 - p^2 = (13 - p)(13 + p)$.

Ответ: $(13 - p)(13 + p)$.

г) Разложим на множители выражение $64 - 25n^2$. Это разность квадратов, поэтому используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Первый член $a^2 = 64$, откуда $a = \sqrt{64} = 8$. Второй член $b^2 = 25n^2$, откуда $b = \sqrt{25n^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{n^2} = 5n$. Подставим $a = 8$ и $b = 5n$ в формулу:

$64 - 25n^2 = 8^2 - (5n)^2 = (8 - 5n)(8 + 5n)$.

Ответ: $(8 - 5n)(8 + 5n)$.

152 a) $x^4 - 16;$

б) $144y^2 - z^6;$

В) $81 - q^4;$

Г) $225m^2 - n^4.$

а) Для разложения на множители выражения $x^4 - 16$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим выражение в виде разности квадратов двух выражений: $x^4 = (x^2)^2$ и $16 = 4^2$.
Получаем: $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.
Первый множитель $(x^2 - 4)$ также является разностью квадратов: $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$.
Разложим его дальше: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
Второй множитель $(x^2 + 4)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

б) Для разложения на множители выражения $144y^2 - z^6$ используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $144y^2 = (12y)^2$ и $z^6 = (z^3)^2$.
Теперь выражение можно записать так: $(12y)^2 - (z^3)^2$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(12y)^2 - (z^3)^2 = (12y - z^3)(12y + z^3)$.
Полученные множители далее не раскладываются.
Ответ: $(12y - z^3)(12y + z^3)$

в) Для разложения на множители выражения $81 - q^4$ снова применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим выражение в виде разности квадратов: $81 = 9^2$ и $q^4 = (q^2)^2$.
Получаем: $81 - q^4 = 9^2 - (q^2)^2 = (9 - q^2)(9 + q^2)$.
Множитель $(9 - q^2)$ в свою очередь является разностью квадратов: $9 - q^2 = 3^2 - q^2$.
Раскладываем его: $3^2 - q^2 = (3 - q)(3 + q)$.
Множитель $(9 + q^2)$ является суммой квадратов и на множители не раскладывается.
Окончательный результат: $(3 - q)(3 + q)(9 + q^2)$.
Ответ: $(3 - q)(3 + q)(9 + q^2)$

г) Для разложения на множители выражения $225m^2 - n^4$ используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $225m^2 = (15m)^2$ и $n^4 = (n^2)^2$.
Выражение принимает вид: $(15m)^2 - (n^2)^2$.
Применив формулу, получаем: $(15m)^2 - (n^2)^2 = (15m - n^2)(15m + n^2)$.
Дальнейшее разложение полученных множителей невозможно.
Ответ: $(15m - n^2)(15m + n^2)$

153 а) $8x^2 - 2y^2$;

б) $16x^3 - xy^2$;

в) $3x^2 - 27z^2$;

г) $y^3z - 25yz^3$.

а)

Чтобы разложить на множители выражение $8x^2 - 2y^2$, сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим числовым множителем для 8 и 2 является 2.
$8x^2 - 2y^2 = 2(4x^2 - y^2)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $4x^2 - y^2$. Это разность квадратов, так как $4x^2$ можно представить как $(2x)^2$, а $y^2$ как $(y)^2$.
Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В нашем случае $a = 2x$ и $b = y$.
$4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$.
Подставим разложенное выражение обратно:
$2(4x^2 - y^2) = 2(2x - y)(2x + y)$.
Ответ: $2(2x - y)(2x + y)$.

б)

Чтобы разложить на множители выражение $16x^3 - xy^2$, вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $16x^3$ и $xy^2$ является $x$.
$16x^3 - xy^2 = x(16x^2 - y^2)$.
Выражение в скобках $16x^2 - y^2$ является разностью квадратов, так как $16x^2 = (4x)^2$ и $y^2 = (y)^2$.
Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4x$ и $b = y$.
$16x^2 - y^2 = (4x)^2 - y^2 = (4x - y)(4x + y)$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$x(16x^2 - y^2) = x(4x - y)(4x + y)$.
Ответ: $x(4x - y)(4x + y)$.

в)

Чтобы разложить на множители выражение $3x^2 - 27z^2$, вынесем общий числовой множитель за скобки. Общим множителем для 3 и 27 является 3.
$3x^2 - 27z^2 = 3(x^2 - 9z^2)$.
Выражение в скобках $x^2 - 9z^2$ является разностью квадратов, поскольку $x^2 = (x)^2$ и $9z^2 = (3z)^2$.
Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x$ и $b = 3z$.
$x^2 - 9z^2 = (x)^2 - (3z)^2 = (x - 3z)(x + 3z)$.
Подставляя обратно, получаем:
$3(x^2 - 9z^2) = 3(x - 3z)(x + 3z)$.
Ответ: $3(x - 3z)(x + 3z)$.

г)

Чтобы разложить на множители выражение $y^3z - 25yz^3$, вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $y^3z$ и $25yz^3$ является $yz$.
$y^3z - 25yz^3 = yz(y^2 - 25z^2)$.
Выражение в скобках $y^2 - 25z^2$ является разностью квадратов, так как $y^2 = (y)^2$ и $25z^2 = (5z)^2$.
Используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = y$ и $b = 5z$, получаем:
$y^2 - 25z^2 = (y)^2 - (5z)^2 = (y - 5z)(y + 5z)$.
Следовательно, исходное выражение раскладывается как:
$yz(y^2 - 25z^2) = yz(y - 5z)(y + 5z)$.
Ответ: $yz(y - 5z)(y + 5z)$.

154 a) $x^2 - y^2 + 2x + 2y;$

б) $p^2 + pq^2 - q^2 - p^2q;$

В) $3a - 3b - a^2 + b^2;$

Г) $m^3 - n^2 - nm^2 + m^2.$

а) $x^2 - y^2 + 2x + 2y$

Для решения этой задачи сгруппируем слагаемые. Сначала сгруппируем $x^2$ и $-y^2$, а затем $2x$ и $2y$.

$(x^2 - y^2) + (2x + 2y)$

Первая скобка представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Вторая скобка имеет общий множитель 2, который можно вынести за скобки.

$(x - y)(x + y) + 2(x + y)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(x + y)$. Вынесем его за скобки.

$(x + y)( (x - y) + 2 )$

Упростим выражение во второй скобке.

$(x + y)(x - y + 2)$

Ответ: $(x + y)(x - y + 2)$

б) $p^2 + pq^2 - q^2 - p^2q$

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем $p^2$ с $-q^2$ и $pq^2$ с $-p^2q$.

$(p^2 - q^2) + (pq^2 - p^2q)$

Разложим на множители первую скобку как разность квадратов. Во второй скобке вынесем общий множитель $pq$.

$(p - q)(p + q) + pq(q - p)$

Чтобы получить общий множитель, изменим знак во второй части выражения. Заметим, что $(q - p) = -(p - q)$.

$(p - q)(p + q) - pq(p - q)$

Теперь вынесем общий множитель $(p - q)$ за скобки.

$(p - q)( (p + q) - pq )$

Упростим выражение во второй скобке.

$(p - q)(p + q - pq)$

Ответ: $(p - q)(p + q - pq)$

в) $3a - 3b - a^2 + b^2$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых.

$(3a - 3b) + (-a^2 + b^2)$

Вынесем общий множитель 3 из первой скобки и -1 из второй скобки, чтобы получить разность квадратов.

$3(a - b) - (a^2 - b^2)$

Теперь разложим разность квадратов $a^2 - b^2$ на множители.

$3(a - b) - (a - b)(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки.

$(a - b)(3 - (a + b))$

Раскроем скобки во втором множителе.

$(a - b)(3 - a - b)$

Ответ: $(a - b)(3 - a - b)$

г) $m^3 - n^2 - nm^2 + m^2$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения на множители. Сгруппируем $m^3$ с $-nm^2$ и $m^2$ с $-n^2$.

$(m^3 - nm^2) + (m^2 - n^2)$

Вынесем общий множитель $m^2$ из первой скобки. Вторую скобку разложим как разность квадратов.

$m^2(m - n) + (m - n)(m + n)$

Теперь у нас есть общий множитель $(m - n)$, который можно вынести за скобки.

$(m - n)(m^2 + (m + n))$

Раскроем внутренние скобки во втором множителе.

$(m - n)(m^2 + m + n)$

Ответ: $(m - n)(m^2 + m + n)$

155 a) $x^3 - 27$;

б) $8a^3 + 1$;

B) $a^3 + 125$;

г) $1 - 27y^3$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^3 - 27$, необходимо применить формулу сокращенного умножения для разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов. В данном случае $A = x$, а $B = 3$, так как $27 = 3^3$.
Подставим эти значения в формулу:
$x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2)$.
Упростим полученное выражение:
$(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.
Ответ: $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $8a^3 + 1$, необходимо применить формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов. В данном случае $A = 2a$, так как $8a^3 = (2a)^3$, а $B = 1$, так как $1 = 1^3$.
Подставим эти значения в формулу:
$(2a)^3 + 1^3 = (2a + 1)((2a)^2 - 2a \cdot 1 + 1^2)$.
Упростим полученное выражение:
$(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$.
Ответ: $(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $a^3 + 125$, необходимо применить формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов. В данном случае $A = a$, а $B = 5$, так как $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в формулу:
$a^3 + 5^3 = (a + 5)(a^2 - a \cdot 5 + 5^2)$.
Упростим полученное выражение:
$(a + 5)(a^2 - 5a + 25)$.
Ответ: $(a + 5)(a^2 - 5a + 25)$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $1 - 27y^3$, необходимо применить формулу сокращенного умножения для разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов. В данном случае $A = 1$, так как $1 = 1^3$, а $B = 3y$, так как $27y^3 = (3y)^3$.
Подставим эти значения в формулу:
$1^3 - (3y)^3 = (1 - 3y)(1^2 + 1 \cdot 3y + (3y)^2)$.
Упростим полученное выражение:
$(1 - 3y)(1 + 3y + 9y^2)$.
Ответ: $(1 - 3y)(1 + 3y + 9y^2)$.

156 a) $ (x - 4)^2 - 9x^2; $

б) $ (2x - y)^2 - (x + 3y)^2; $

В) $ 144 - (a + 9)^2; $

Г) $ (z + 1)^2 - (2z - 3)^2. $

а) Для разложения выражения $(x - 4)^2 - 9x^2$ на множители используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Сначала представим $9x^2$ в виде квадрата: $9x^2 = (3x)^2$.
Теперь выражение имеет вид $(x - 4)^2 - (3x)^2$.
В данном случае $A = x - 4$ и $B = 3x$.
Подставляем эти значения в формулу:
$((x - 4) - 3x)((x - 4) + 3x)$.
Упростим выражения в каждой скобке:
В первой скобке: $x - 4 - 3x = -2x - 4$.
Во второй скобке: $x - 4 + 3x = 4x - 4$.
Результат разложения: $(-2x - 4)(4x - 4)$.
Ответ: $(-2x - 4)(4x - 4)$.

б) Для разложения выражения $(2x - y)^2 - (x + 3y)^2$ на множители используем ту же формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = 2x - y$ и $B = x + 3y$.
Подставляем эти выражения в формулу:
$((2x - y) - (x + 3y))((2x - y) + (x + 3y))$.
Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:
В первой группе скобок: $2x - y - x - 3y = (2x - x) + (-y - 3y) = x - 4y$.
Во второй группе скобок: $2x - y + x + 3y = (2x + x) + (-y + 3y) = 3x + 2y$.
Результат разложения: $(x - 4y)(3x + 2y)$.
Ответ: $(x - 4y)(3x + 2y)$.

в) Для разложения выражения $144 - (a + 9)^2$ на множители снова применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим число $144$ как квадрат: $144 = 12^2$.
Выражение принимает вид $12^2 - (a + 9)^2$.
В этом случае $A = 12$ и $B = a + 9$.
Подставляем в формулу:
$(12 - (a + 9))(12 + (a + 9))$.
Упростим выражения в скобках:
В первой скобке: $12 - a - 9 = 3 - a$.
Во второй скобке: $12 + a + 9 = a + 21$.
Результат разложения: $(3 - a)(a + 21)$.
Ответ: $(3 - a)(a + 21)$.

г) Для разложения выражения $(z + 1)^2 - (2z - 3)^2$ на множители используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном выражении $A = z + 1$ и $B = 2z - 3$.
Подставляем $A$ и $B$ в формулу:
$((z + 1) - (2z - 3))((z + 1) + (2z - 3))$.
Упростим полученные выражения в скобках:
В первой группе скобок: $z + 1 - 2z + 3 = (z - 2z) + (1 + 3) = -z + 4$.
Во второй группе скобок: $z + 1 + 2z - 3 = (z + 2z) + (1 - 3) = 3z - 2$.
Результат разложения: $(-z + 4)(3z - 2)$, что можно также записать как $(4 - z)(3z - 2)$.
Ответ: $(4 - z)(3z - 2)$.

157 a) $16 - 8p + p^2;$

б) $25x^2 + 20xy + 4y^2;$

в) $36q^2 + 12q + 1;$

г) $m^2 - 14mn + 49n^2.$

а) Для того чтобы представить трехчлен $16 - 8p + p^2$ в виде квадрата двучлена, необходимо распознать в нем формулу сокращенного умножения. В данном случае это формула квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Определим значения $a$ и $b$ для нашего выражения:

Первый член $16$ можно представить как $4^2$, следовательно, $a = 4$.

Третий член $p^2$ является квадратом $p$, следовательно, $b = p$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член $-8p$ удвоенному произведению $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot 4 \cdot p = -8p$.

Поскольку все условия выполняются, мы можем применить формулу:

$16 - 8p + p^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot p + p^2 = (4 - p)^2$.

Ответ: $(4 - p)^2$.

б) Рассмотрим трехчлен $25x^2 + 20xy + 4y^2$. Здесь мы ищем формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Определим значения $a$ и $b$:

Первый член $25x^2$ можно представить как $(5x)^2$, следовательно, $a = 5x$.

Третий член $4y^2$ можно представить как $(2y)^2$, следовательно, $b = 2y$.

Проверим средний член $20xy$ на соответствие удвоенному произведению $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (5x) \cdot (2y) = 20xy$.

Все условия выполнены, применяем формулу:

$25x^2 + 20xy + 4y^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2y + (2y)^2 = (5x + 2y)^2$.

Ответ: $(5x + 2y)^2$.

в) Рассмотрим трехчлен $36q^2 + 12q + 1$. Это также случай формулы квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Определим значения $a$ и $b$:

Первый член $36q^2$ это $(6q)^2$, значит $a = 6q$.

Третий член $1$ это $1^2$, значит $b = 1$.

Проверим средний член $12q$:

$2ab = 2 \cdot (6q) \cdot 1 = 12q$.

Соответствие полное, следовательно:

$36q^2 + 12q + 1 = (6q)^2 + 2 \cdot 6q \cdot 1 + 1^2 = (6q + 1)^2$.

Ответ: $(6q + 1)^2$.

г) Для трехчлена $m^2 - 14mn + 49n^2$ применим формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Определим значения $a$ и $b$:

Первый член $m^2$ является квадратом $m$, значит $a = m$.

Третий член $49n^2$ является квадратом $7n$, то есть $(7n)^2$, значит $b = 7n$.

Проверим средний член $-14mn$:

$-2ab = -2 \cdot m \cdot (7n) = -14mn$.

Выражение полностью соответствует формуле, поэтому:

$m^2 - 14mn + 49n^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 7n + (7n)^2 = (m - 7n)^2$.

Ответ: $(m - 7n)^2$.

158 а) $5p^2 - 30pq + 45q^2;$

б) $x^3z + 4x^2z^2 + 4xz^3.$

в) $2c^2 + 20cd + 50d^2;$

г) $3m^2n - 6mn + 3n.$

а) $5p^2 - 30pq + 45q^2$

Для разложения данного многочлена на множители первым шагом вынесем общий числовой множитель за скобки. Наибольший общий делитель для коэффициентов 5, -30 и 45 равен 5.

$5p^2 - 30pq + 45q^2 = 5(p^2 - 6pq + 9q^2)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $p^2 - 6pq + 9q^2$. Это выражение является полным квадратом разности, который соответствует формуле сокращенного умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае можно взять $a = p$ и $b = 3q$. Проверим, соответствует ли наше выражение этой формуле:

Первый член: $a^2 = p^2$.

Третий член: $b^2 = (3q)^2 = 9q^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot p \cdot 3q = 6pq$.

Таким образом, выражение в скобках можно свернуть в квадрат разности: $p^2 - 6pq + 9q^2 = (p - 3q)^2$.

Подставляя это обратно, получаем окончательный результат.

Ответ: $5(p - 3q)^2$.

б) $x^3z + 4x^2z^2 + 4xz^3$

Сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для всех членов многочлена является $xz$.

$x^3z + 4x^2z^2 + 4xz^3 = xz(x^2 + 4xz + 4z^2)$

Рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + 4xz + 4z^2$. Это выражение является полным квадратом суммы, который соответствует формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = x$ и $b = 2z$. Проверим:

Первый член: $a^2 = x^2$.

Третий член: $b^2 = (2z)^2 = 4z^2$.

Удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2z = 4xz$.

Выражение в скобках совпадает с формулой, следовательно, $x^2 + 4xz + 4z^2 = (x + 2z)^2$.

Подставляя это обратно, получаем итоговое разложение.

Ответ: $xz(x + 2z)^2$.

в) $2c^2 + 20cd + 50d^2$

Вынесем общий числовой множитель 2 за скобки.

$2c^2 + 20cd + 50d^2 = 2(c^2 + 10cd + 25d^2)$

Выражение в скобках $c^2 + 10cd + 25d^2$ является полным квадратом суммы, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = c$ и $b = 5d$. Проверим:

$a^2 = c^2$.

$b^2 = (5d)^2 = 25d^2$.

$2ab = 2 \cdot c \cdot 5d = 10cd$.

Выражение в скобках сворачивается в $(c + 5d)^2$.

Окончательный результат разложения на множители выглядит следующим образом.

Ответ: $2(c + 5d)^2$.

г) $3m^2n - 6mn + 3n$

Вынесем общий множитель $3n$ за скобки.

$3m^2n - 6mn + 3n = 3n(m^2 - 2m + 1)$

Выражение в скобках $m^2 - 2m + 1$ является полным квадратом разности, $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = m$ и $b = 1$. Проверим:

$a^2 = m^2$.

$b^2 = 1^2 = 1$.

$2ab = 2 \cdot m \cdot 1 = 2m$.

Следовательно, выражение в скобках можно записать как $(m - 1)^2$.

Подставим полученный квадрат разности в наше выражение.

Ответ: $3n(m - 1)^2$.

159 а) $x^2 - 5x + 6;$

б) $t^2 + 6t + 5;$

В) $z^2 - 6z + 8;$

Г) $y^2 + 9y + 8.$

а) Чтобы разложить квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Так как это приведенное квадратное уравнение (коэффициент при $x^2$ равен 1), можно воспользоваться теоремой Виета. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену. То есть, для наших корней должны выполняться условия: $x_1 + x_2 = -(-5) = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Методом подбора находим, что эти условия выполняются для чисел 2 и 3. Следовательно, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В данном случае $a=1$, поэтому получаем: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
Ответ: $(x - 2)(x - 3)$.

б) Для разложения на множители трехчлена $t^2 + 6t + 5$ решим уравнение $t^2 + 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, для корней $t_1$ и $t_2$ должны выполняться следующие равенства: $t_1 + t_2 = -6$ и $t_1 \cdot t_2 = 5$. Подбором находим, что корнями являются числа -1 и -5. Их сумма равна -6, а произведение равно 5. Таким образом, $t_1 = -1$ и $t_2 = -5$. Формула разложения на множители для приведенного квадратного трехчлена: $(t - t_1)(t - t_2)$. Подставив найденные корни, получаем: $t^2 + 6t + 5 = (t - (-1))(t - (-5)) = (t + 1)(t + 5)$.
Ответ: $(t + 1)(t + 5)$.

в) Чтобы разложить на множители трехчлен $z^2 - 6z + 8$, найдем корни квадратного уравнения $z^2 - 6z + 8 = 0$. Используя теорему Виета, запишем систему для корней $z_1$ и $z_2$: $z_1 + z_2 = -(-6) = 6$ и $z_1 \cdot z_2 = 8$. Подбираем два числа, которые в произведении дают 8, а в сумме 6. Этими числами являются 2 и 4. Значит, корни уравнения $z_1 = 2$ и $z_2 = 4$. Применяем формулу разложения $a(z - z_1)(z - z_2)$, где $a=1$: $z^2 - 6z + 8 = (z - 2)(z - 4)$.
Ответ: $(z - 2)(z - 4)$.

г) Для разложения на множители трехчлена $y^2 + 9y + 8$ решим уравнение $y^2 + 9y + 8 = 0$. По теореме Виета, для корней $y_1$ и $y_2$ должны выполняться условия: $y_1 + y_2 = -9$ и $y_1 \cdot y_2 = 8$. Методом подбора находим, что корнями являются числа -1 и -8. Их произведение равно 8, а сумма равна -9. Итак, $y_1 = -1$ и $y_2 = -8$. Подставляем найденные корни в формулу разложения $(y - y_1)(y - y_2)$: $y^2 + 9y + 8 = (y - (-1))(y - (-8)) = (y + 1)(y + 8)$.
Ответ: $(y + 1)(y + 8)$.