Номер 158, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 158, страница 235.

Условие.

158 а) $5p^2 - 30pq + 45q^2;$

б) $x^3z + 4x^2z^2 + 4xz^3.$

в) $2c^2 + 20cd + 50d^2;$

г) $3m^2n - 6mn + 3n.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) $5p^2 - 30pq + 45q^2$

Для разложения данного многочлена на множители первым шагом вынесем общий числовой множитель за скобки. Наибольший общий делитель для коэффициентов 5, -30 и 45 равен 5.

$5p^2 - 30pq + 45q^2 = 5(p^2 - 6pq + 9q^2)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $p^2 - 6pq + 9q^2$. Это выражение является полным квадратом разности, который соответствует формуле сокращенного умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае можно взять $a = p$ и $b = 3q$. Проверим, соответствует ли наше выражение этой формуле:

Первый член: $a^2 = p^2$.

Третий член: $b^2 = (3q)^2 = 9q^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot p \cdot 3q = 6pq$.

Таким образом, выражение в скобках можно свернуть в квадрат разности: $p^2 - 6pq + 9q^2 = (p - 3q)^2$.

Подставляя это обратно, получаем окончательный результат.

Ответ: $5(p - 3q)^2$.

б) $x^3z + 4x^2z^2 + 4xz^3$

Сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для всех членов многочлена является $xz$.

$x^3z + 4x^2z^2 + 4xz^3 = xz(x^2 + 4xz + 4z^2)$

Рассмотрим выражение в скобках: $x^2 + 4xz + 4z^2$. Это выражение является полным квадратом суммы, который соответствует формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = x$ и $b = 2z$. Проверим:

Первый член: $a^2 = x^2$.

Третий член: $b^2 = (2z)^2 = 4z^2$.

Удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2z = 4xz$.

Выражение в скобках совпадает с формулой, следовательно, $x^2 + 4xz + 4z^2 = (x + 2z)^2$.

Подставляя это обратно, получаем итоговое разложение.

Ответ: $xz(x + 2z)^2$.

в) $2c^2 + 20cd + 50d^2$

Вынесем общий числовой множитель 2 за скобки.

$2c^2 + 20cd + 50d^2 = 2(c^2 + 10cd + 25d^2)$

Выражение в скобках $c^2 + 10cd + 25d^2$ является полным квадратом суммы, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = c$ и $b = 5d$. Проверим:

$a^2 = c^2$.

$b^2 = (5d)^2 = 25d^2$.

$2ab = 2 \cdot c \cdot 5d = 10cd$.

Выражение в скобках сворачивается в $(c + 5d)^2$.

Окончательный результат разложения на множители выглядит следующим образом.

Ответ: $2(c + 5d)^2$.

г) $3m^2n - 6mn + 3n$

Вынесем общий множитель $3n$ за скобки.

$3m^2n - 6mn + 3n = 3n(m^2 - 2m + 1)$

Выражение в скобках $m^2 - 2m + 1$ является полным квадратом разности, $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = m$ и $b = 1$. Проверим:

$a^2 = m^2$.

$b^2 = 1^2 = 1$.

$2ab = 2 \cdot m \cdot 1 = 2m$.

Следовательно, выражение в скобках можно записать как $(m - 1)^2$.

Подставим полученный квадрат разности в наше выражение.

Ответ: $3n(m - 1)^2$.