Номер 122, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 122, страница 232.

Условие.

122 a) $\frac{(a^3)^6 \cdot a^2}{a \cdot a^{19}}$;

Б) $\frac{(ab)^3 \cdot a^4}{ab^2}$;

В) $\frac{(b^6)^4 : b}{b^{15} \cdot b^8}$;

Г) $\frac{ab^3}{(ab)^3 : (a^2b)}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

а) Упростим выражение $\frac{(a^3)^6 \cdot a^2}{a \cdot a^{19}}$.
Сначала упростим числитель. Используем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}$.
Затем используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^{18} \cdot a^2 = a^{18+2} = a^{20}$.
Теперь упростим знаменатель, используя то же свойство умножения степеней ($a = a^1$):
$a \cdot a^{19} = a^1 \cdot a^{19} = a^{1+19} = a^{20}$.
Получаем дробь: $\frac{a^{20}}{a^{20}}$.
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^{20}}{a^{20}} = a^{20-20} = a^0 = 1$.
Ответ: $1$.

б) Упростим выражение $\frac{(ab)^3 \cdot a^4}{ab^2}$.
Сначала упростим числитель. Используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:
$(ab)^3 = a^3 b^3$.
Теперь числитель выглядит так: $a^3 b^3 \cdot a^4$.
Сгруппируем и умножим степени с одинаковым основанием $a$ по правилу $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$(a^3 \cdot a^4) \cdot b^3 = a^{3+4} \cdot b^3 = a^7 b^3$.
Теперь всё выражение имеет вид: $\frac{a^7 b^3}{ab^2}$.
Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^7}{a^1} \cdot \frac{b^3}{b^2} = a^{7-1} \cdot b^{3-2} = a^6 b^1 = a^6 b$.
Ответ: $a^6 b$.

в) Упростим выражение $\frac{(b^6)^4 : b}{b^{15} \cdot b^8}$. Знак ':' обозначает деление.
Упростим числитель $(b^6)^4 : b$.
Сначала возведем степень в степень: $(b^6)^4 = b^{6 \cdot 4} = b^{24}$.
Затем выполним деление: $b^{24} : b = b^{24} : b^1 = b^{24-1} = b^{23}$.
Теперь упростим знаменатель $b^{15} \cdot b^8$.
Используем свойство умножения степеней: $b^{15} \cdot b^8 = b^{15+8} = b^{23}$.
Получаем дробь: $\frac{b^{23}}{b^{23}}$.
При делении одинаковых выражений (не равных нулю) результат равен 1. По свойству деления степеней:
$\frac{b^{23}}{b^{23}} = b^{23-23} = b^0 = 1$.
Ответ: $1$.

г) Упростим выражение $\frac{ab^3}{(ab)^3 : (a^2b)}$.
Сначала упростим знаменатель $(ab)^3 : (a^2b)$.
Возведем произведение в степень: $(ab)^3 = a^3 b^3$.
Знаменатель становится $a^3 b^3 : (a^2b)$. Запишем деление в виде дроби:
$\frac{a^3 b^3}{a^2b} = \frac{a^3}{a^2} \cdot \frac{b^3}{b^1} = a^{3-2} \cdot b^{3-1} = a^1 b^2 = ab^2$.
Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходное выражение:
$\frac{ab^3}{ab^2}$.
Выполним деление степеней с одинаковыми основаниями:
$\frac{a}{a} \cdot \frac{b^3}{b^2} = a^{1-1} \cdot b^{3-2} = a^0 \cdot b^1 = 1 \cdot b = b$.
Ответ: $b$.