Номер 93, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Линейные уравнения и системы уравнений. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 93, страница 229.

Условие.

93 Из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода и встретились через 3 ч 45 мин. Если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. Найдите скорости пешеходов.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого пешехода, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго пешехода. Расстояние между пунктами А и В составляет $S = 30$ км.

Анализ первого условия

В первом случае пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч 45 мин. Переведем это время в часы для удобства расчетов:
$t_1 = 3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + 0.75 \text{ ч} = 3.75 \text{ ч}$.

Когда пешеходы движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t_1$ они совместно проходят все расстояние $S$. Составим первое уравнение на основе формулы пути $S = v \cdot t$:
$(v_1 + v_2) \cdot 3.75 = 30$

Выразим из этого уравнения сумму скоростей:
$v_1 + v_2 = \frac{30}{3.75} = 8$.
Это наше первое уравнение системы.

Анализ второго условия

Во втором случае, если бы первый пешеход вышел на 2 часа раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 часа после выхода второго.
Это означает, что время в пути для второго пешехода составило $t_2 = 2.5$ ч.
Время в пути для первого пешехода в этом случае будет на 2 часа больше: $t'_1 = 2.5 + 2 = 4.5$ ч.

Расстояние, которое прошел первый пешеход до встречи: $S_1 = v_1 \cdot t'_1 = 4.5v_1$.
Расстояние, которое прошел второй пешеход до встречи: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 2.5v_2$.
Сумма этих расстояний равна общему расстоянию между пунктами:
$S_1 + S_2 = 30$
$4.5v_1 + 2.5v_2 = 30$.
Это наше второе уравнение системы.

Решение системы уравнений

Мы получили следующую систему уравнений:
$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 8 \\ 4.5v_1 + 2.5v_2 = 30 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v_1$ через $v_2$:
$v_1 = 8 - v_2$.

Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$4.5(8 - v_2) + 2.5v_2 = 30$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_2$:
$36 - 4.5v_2 + 2.5v_2 = 30$
$36 - 2v_2 = 30$
$2v_2 = 36 - 30$
$2v_2 = 6$
$v_2 = 3$ (км/ч).

Теперь найдем скорость первого пешехода, подставив найденное значение $v_2$ в выражение для $v_1$:
$v_1 = 8 - 3 = 5$ (км/ч).

Ответ: скорость первого пешехода — 5 км/ч, скорость второго пешехода — 3 км/ч.