Номер 180, страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 180, страница 237.

Условие.

180 а) $\frac{16a^2 - 8ab + b^2}{64a^3 - b^3}$

б) $\frac{8p^3 + 27q^3}{4p^2 + 12pq + 9q^2}$

в) $\frac{125x^3 - y^3}{25x^2 - 10xy + y^2}$

г) $\frac{27n^3 + 64m^3}{9n^2 + 24mn + 16m^2}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{16a^2 - 8ab + b^2}{64a^3 - b^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $16a^2 - 8ab + b^2$ представляет собой полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$16a^2 - 8ab + b^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot b + b^2 = (4a - b)^2$.
Знаменатель $64a^3 - b^3$ является разностью кубов, которая раскладывается по формуле $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
$64a^3 - b^3 = (4a)^3 - b^3 = (4a - b)((4a)^2 + 4a \cdot b + b^2) = (4a - b)(16a^2 + 4ab + b^2)$.
Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{(4a - b)^2}{(4a - b)(16a^2 + 4ab + b^2)} = \frac{4a - b}{16a^2 + 4ab + b^2}$.
Ответ: $\frac{4a - b}{16a^2 + 4ab + b^2}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{8p^3 + 27q^3}{4p^2 + 12pq + 9q^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $8p^3 + 27q^3$ является суммой кубов, которая раскладывается по формуле $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
$8p^3 + 27q^3 = (2p)^3 + (3q)^3 = (2p + 3q)((2p)^2 - 2p \cdot 3q + (3q)^2) = (2p + 3q)(4p^2 - 6pq + 9q^2)$.
Знаменатель $4p^2 + 12pq + 9q^2$ представляет собой полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$4p^2 + 12pq + 9q^2 = (2p)^2 + 2 \cdot 2p \cdot 3q + (3q)^2 = (2p + 3q)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{(2p + 3q)(4p^2 - 6pq + 9q^2)}{(2p + 3q)^2} = \frac{4p^2 - 6pq + 9q^2}{2p + 3q}$.
Ответ: $\frac{4p^2 - 6pq + 9q^2}{2p + 3q}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{125x^3 - y^3}{25x^2 - 10xy + y^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $125x^3 - y^3$ является разностью кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$125x^3 - y^3 = (5x)^3 - y^3 = (5x - y)((5x)^2 + 5x \cdot y + y^2) = (5x - y)(25x^2 + 5xy + y^2)$.
Знаменатель $25x^2 - 10xy + y^2$ представляет собой полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$25x^2 - 10xy + y^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot y + y^2 = (5x - y)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{(5x - y)(25x^2 + 5xy + y^2)}{(5x - y)^2} = \frac{25x^2 + 5xy + y^2}{5x - y}$.
Ответ: $\frac{25x^2 + 5xy + y^2}{5x - y}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{27n^3 + 64m^3}{9n^2 + 24mn + 16m^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $27n^3 + 64m^3$ является суммой кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
$27n^3 + 64m^3 = (3n)^3 + (4m)^3 = (3n + 4m)((3n)^2 - 3n \cdot 4m + (4m)^2) = (3n + 4m)(9n^2 - 12mn + 16m^2)$.
Знаменатель $9n^2 + 24mn + 16m^2$ представляет собой полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$9n^2 + 24mn + 16m^2 = (3n)^2 + 2 \cdot 3n \cdot 4m + (4m)^2 = (3n + 4m)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{(3n + 4m)(9n^2 - 12mn + 16m^2)}{(3n + 4m)^2} = \frac{9n^2 - 12mn + 16m^2}{3n + 4m}$.
Ответ: $\frac{9n^2 - 12mn + 16m^2}{3n + 4m}$.