Номер 185, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 185, страница 238.

Условие.

185 a) $ \frac{x^2 - 49}{16 - (x - 3)^2} $

б) $ \frac{81 - 36t + 4t^2}{(2t - 3)^2 - 36} $

В) $ \frac{(x - 1)^2 - 144}{x^2 - 121} $

Г) $ \frac{25 - (5x - 1)^2}{36 - 60x + 25x^2} $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Для упрощения дроби $ \frac{x^2 - 49}{16 - (x - 3)^2} $ разложим на множители числитель и знаменатель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Разложим числитель: $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

2. Разложим знаменатель: $16 - (x - 3)^2 = 4^2 - (x - 3)^2 = (4 - (x - 3))(4 + (x - 3)) = (4 - x + 3)(4 + x - 3) = (7 - x)(x + 1)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(x - 7)(x + 7)}{(7 - x)(x + 1)} $

4. Заметим, что множители $(x - 7)$ и $(7 - x)$ являются противоположными, то есть $x - 7 = -(7 - x)$. Вынесем минус за скобки в числителе:

$ \frac{-(7 - x)(x + 7)}{(7 - x)(x + 1)} $

5. Сократим дробь на общий множитель $(7 - x)$:

$ \frac{-(x + 7)}{x + 1} = -\frac{x + 7}{x + 1} $

Ответ: $-\frac{x + 7}{x + 1}$

б)

Для упрощения дроби $ \frac{81 - 36t + 4t^2}{(2t - 3)^2 - 36} $ разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель: $81 - 36t + 4t^2$. Перепишем выражение в стандартном виде: $4t^2 - 36t + 81$. Это выражение является полным квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2t$ и $b = 9$. Проверим: $(2t - 9)^2 = (2t)^2 - 2 \cdot 2t \cdot 9 + 9^2 = 4t^2 - 36t + 81$. Таким образом, числитель равен $(2t - 9)^2$.

2. Разложим знаменатель: $(2t - 3)^2 - 36$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2t - 3$ и $b = 6$.

$(2t - 3)^2 - 6^2 = ((2t - 3) - 6)((2t - 3) + 6) = (2t - 9)(2t + 3)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(2t - 9)^2}{(2t - 9)(2t + 3)} $

4. Сократим дробь на общий множитель $(2t - 9)$:

$ \frac{2t - 9}{2t + 3} $

Ответ: $\frac{2t - 9}{2t + 3}$

в)

Для упрощения дроби $ \frac{(x - 1)^2 - 144}{x^2 - 121} $ разложим на множители числитель и знаменатель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Разложим числитель: $(x - 1)^2 - 144 = (x - 1)^2 - 12^2$. Здесь $a = x - 1$ и $b = 12$.

$((x - 1) - 12)((x - 1) + 12) = (x - 13)(x + 11)$.

2. Разложим знаменатель: $x^2 - 121 = x^2 - 11^2 = (x - 11)(x + 11)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(x - 13)(x + 11)}{(x - 11)(x + 11)} $

4. Сократим дробь на общий множитель $(x + 11)$:

$ \frac{x - 13}{x - 11} $

Ответ: $\frac{x - 13}{x - 11}$

г)

Для упрощения дроби $ \frac{25 - (5x - 1)^2}{36 - 60x + 25x^2} $ разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель: $25 - (5x - 1)^2$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5$ и $b = 5x - 1$.

$(5 - (5x - 1))(5 + (5x - 1)) = (5 - 5x + 1)(5 + 5x - 1) = (6 - 5x)(4 + 5x)$.

2. Разложим знаменатель: $36 - 60x + 25x^2$. Перепишем выражение в стандартном виде: $25x^2 - 60x + 36$. Это выражение является полным квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 5x$ и $b = 6$. Проверим: $(5x - 6)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 6 + 6^2 = 25x^2 - 60x + 36$. Таким образом, знаменатель равен $(5x - 6)^2$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(6 - 5x)(4 + 5x)}{(5x - 6)^2} $

4. Заметим, что множители $(6 - 5x)$ и $(5x - 6)$ являются противоположными, то есть $6 - 5x = -(5x - 6)$. Вынесем минус за скобки в числителе:

$ \frac{-(5x - 6)(5x + 4)}{(5x - 6)^2} $

5. Сократим дробь на общий множитель $(5x - 6)$:

$ \frac{-(5x + 4)}{5x - 6} = -\frac{5x + 4}{5x - 6} $

Ответ: $-\frac{5x + 4}{5x - 6}$