Номер 168, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 168, страница 236.

Условие.

Докажите тождество:

168 а) $\frac{a^3 - 64}{a - 4} + 4a = (a + 4)^2;$

б) $(3b - 1)(3b + 1) - \frac{27b^3 + 1}{3b + 1} = 3b;$

В) $\frac{c^3 + 125}{c + 5} - 5c = (c - 5)^2;$

Г) $\frac{8d^3 - 27}{2d - 3} - (2d + 3)^2 = -6d.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

а) $\frac{a^3 - 64}{a - 4} + 4a = (a + 4)^2$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Преобразование левой части:

В числителе дроби используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

$a^3 - 64 = a^3 - 4^3 = (a - 4)(a^2 + a \cdot 4 + 4^2) = (a - 4)(a^2 + 4a + 16)$.

Подставим полученное выражение в левую часть равенства:

$\frac{(a - 4)(a^2 + 4a + 16)}{a - 4} + 4a$

Сократим дробь на $(a-4)$, при условии, что $a \neq 4$:

$(a^2 + 4a + 16) + 4a = a^2 + 8a + 16$.

Преобразование правой части:

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a + 4)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 + 8a + 16$.

Поскольку после преобразований левая часть ($a^2 + 8a + 16$) равна правой части ($a^2 + 8a + 16$), тождество доказано.

Ответ: $a^2 + 8a + 16 = a^2 + 8a + 16$, тождество доказано.

б) $(3b - 1)(3b + 1) - \frac{27b^3 + 1}{3b + 1} = 3b$

Преобразуем левую часть равенства. Для первого слагаемого используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, а для числителя дроби — формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Первое слагаемое: $(3b - 1)(3b + 1) = (3b)^2 - 1^2 = 9b^2 - 1$.

Числитель дроби: $27b^3 + 1 = (3b)^3 + 1^3 = (3b + 1)((3b)^2 - 3b \cdot 1 + 1^2) = (3b + 1)(9b^2 - 3b + 1)$.

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$(9b^2 - 1) - \frac{(3b + 1)(9b^2 - 3b + 1)}{3b + 1}$

Сократим дробь на $(3b + 1)$, при условии, что $b \neq -1/3$:

$(9b^2 - 1) - (9b^2 - 3b + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9b^2 - 1 - 9b^2 + 3b - 1 = (9b^2 - 9b^2) + 3b + (-1 - 1) = 3b - 2$.

В результате упрощения левая часть равна $3b - 2$, а правая часть равна $3b$. Так как $3b - 2 \neq 3b$, данное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: $3b - 2 \neq 3b$, исходное равенство не является тождеством.

в) $\frac{c^3 + 125}{c + 5} - 5c = (c - 5)^2$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части.

Преобразование левой части:

В числителе дроби используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

$c^3 + 125 = c^3 + 5^3 = (c + 5)(c^2 - c \cdot 5 + 5^2) = (c + 5)(c^2 - 5c + 25)$.

Подставим в левую часть:

$\frac{(c + 5)(c^2 - 5c + 25)}{c + 5} - 5c$

Сократим дробь на $(c+5)$, при условии, что $c \neq -5$:

$(c^2 - 5c + 25) - 5c = c^2 - 10c + 25$.

Преобразование правой части:

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(c - 5)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 = c^2 - 10c + 25$.

Левая часть ($c^2 - 10c + 25$) равна правой части ($c^2 - 10c + 25$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: $c^2 - 10c + 25 = c^2 - 10c + 25$, тождество доказано.

г) $\frac{8d^3 - 27}{2d - 3} - (2d + 3)^2 = -6d$

Преобразуем левую часть тождества. Для числителя дроби применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$, а для второго слагаемого — формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Числитель дроби: $8d^3 - 27 = (2d)^3 - 3^3 = (2d - 3)((2d)^2 + 2d \cdot 3 + 3^2) = (2d - 3)(4d^2 + 6d + 9)$.

Второе слагаемое: $(2d + 3)^2 = (2d)^2 + 2 \cdot 2d \cdot 3 + 3^2 = 4d^2 + 12d + 9$.

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$\frac{(2d - 3)(4d^2 + 6d + 9)}{2d - 3} - (4d^2 + 12d + 9)$

Сократим дробь на $(2d-3)$, при условии, что $d \neq 3/2$:

$(4d^2 + 6d + 9) - (4d^2 + 12d + 9)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4d^2 + 6d + 9 - 4d^2 - 12d - 9 = (4d^2 - 4d^2) + (6d - 12d) + (9 - 9) = -6d$.

Преобразованная левая часть равна $-6d$, что совпадает с правой частью тождества.

Ответ: $-6d = -6d$, тождество доказано.