Номер 166, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 166, страница 236.

Условие.

166 a) $(x + 3)^2 - 4x^2 = 0;$

б) $16x^2 - (x - 5)^2 = 0;$

В) $(x - 2)^2 - 9x^2 = 0;$

Г) $25x^2 - (x + 4)^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

а) Для решения уравнения $(x + 3)^2 - 4x^2 = 0$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим $4x^2$ в виде $(2x)^2$. Получим: $(x + 3)^2 - (2x)^2 = 0$. Разложим левую часть на множители: $((x + 3) - 2x)((x + 3) + 2x) = 0$. Упростим выражения в скобках: $(3 - x)(3x + 3) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения: $3 - x = 0$, что дает $x_1 = 3$, и $3x + 3 = 0$, что дает $3x = -3$, и, следовательно, $x_2 = -1$.
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

б) Решим уравнение $16x^2 - (x - 5)^2 = 0$, используя формулу разности квадратов. Представим $16x^2$ как $(4x)^2$. Уравнение примет вид: $(4x)^2 - (x - 5)^2 = 0$. Разложим на множители: $(4x - (x - 5))(4x + (x - 5)) = 0$. Упростим, раскрыв скобки: $(4x - x + 5)(4x + x - 5) = 0$, что дает $(3x + 5)(5x - 5) = 0$. Приравняем каждый множитель к нулю: $3x + 5 = 0$, откуда $3x = -5$ и $x_1 = -5/3$; и $5x - 5 = 0$, откуда $5x = 5$ и $x_2 = 1$.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -5/3$.

в) Для уравнения $(x - 2)^2 - 9x^2 = 0$ применим формулу разности квадратов. Представим $9x^2$ как $(3x)^2$. Получаем: $(x - 2)^2 - (3x)^2 = 0$. Разложение на множители дает: $((x - 2) - 3x)((x - 2) + 3x) = 0$. После упрощения выражений в скобках имеем: $(-2x - 2)(4x - 2) = 0$. Теперь решим два простых уравнения: $-2x - 2 = 0$, откуда $-2x = 2$ и $x_1 = -1$; и $4x - 2 = 0$, откуда $4x = 2$ и $x_2 = 2/4 = 1/2$.
Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 1/2$.

г) Решим уравнение $25x^2 - (x + 4)^2 = 0$ с помощью формулы разности квадратов. Запишем $25x^2$ как $(5x)^2$. Уравнение становится: $(5x)^2 - (x + 4)^2 = 0$. Разложим на множители: $(5x - (x + 4))(5x + (x + 4)) = 0$. Упростим, раскрыв внутренние скобки: $(5x - x - 4)(5x + x + 4) = 0$, что приводит к $(4x - 4)(6x + 4) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни: $4x - 4 = 0$, откуда $4x = 4$ и $x_1 = 1$; и $6x + 4 = 0$, откуда $6x = -4$ и $x_2 = -4/6 = -2/3$.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -2/3$.