Номер 3, страница 208, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Группировка данных.

Определение и цели группировки

Группировка данных — это один из ключевых методов статистики, заключающийся в разделении совокупности данных на группы, однородные по какому-либо существенному признаку. Исходные, необработанные данные (так называемый «сырой» материал) часто представляют собой большой массив чисел, который сложен для восприятия и анализа. Группировка позволяет упорядочить эти данные, сделать их более компактными и наглядными.

Основные цели группировки данных:

• Систематизация и обобщение данных, приведение большого массива информации в упорядоченный вид.
• Выделение социально-экономических типов явлений (например, группировка предприятий по форме собственности).
• Изучение структуры совокупности и структурных сдвигов (например, распределение населения по возрастным группам).
• Выявление взаимосвязей между различными признаками (например, анализ зависимости производительности труда от уровня квалификации рабочих).
• Подготовка данных для дальнейшего анализа, расчета сводных показателей и построения графиков (гистограмм, полигонов распределения).

Виды группировок

В зависимости от поставленных задач и характера признаков выделяют несколько видов группировок:

1. Типологическая группировка. Используется для разделения качественно неоднородной совокупности на однородные группы, классы, типы. В основу такой группировки кладется качественный (атрибутивный) признак. Пример: разделение населения страны по месту жительства (городское, сельское) или отраслей экономики по секторам (первичный, вторичный, третичный).
2. Структурная группировка. Применяется для изучения внутреннего строения (структуры) однородной совокупности и распределения ее единиц по определенному варьирующему признаку. Пример: группировка студентов вуза по среднему баллу успеваемости, группировка работников предприятия по стажу работы.
3. Аналитическая группировка. Используется для выявления и анализа взаимосвязей между двумя и более признаками, один из которых рассматривается как факторный (влияющий), а другой — как результативный (испытывающий влияние). Пример: группировка фермерских хозяйств по количеству внесенных удобрений (факторный признак) для анализа урожайности зерновых (результативный признак).

Группировки также различают по признаку, лежащему в их основе: атрибутивные (по качественному признаку, например, пол, профессия) и количественные (по количественному признаку, например, возраст, доход).

Этапы группировки количественных данных

Группировка по количественному признаку, особенно если он является непрерывным или имеет много значений, требует разбиения данных на интервалы. Этот процесс включает несколько последовательных шагов:

1. Определение количества групп (k). Выбор числа групп является важным шагом, влияющим на наглядность результатов. Слишком малое число групп может скрыть важные особенности распределения, а слишком большое — излишне усложнить анализ. Часто количество групп выбирают в пределах от 5 до 15. Для более формального определения можно использовать формулу Стерджесса:
   $k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n)$
   где $n$ — объем совокупности (количество наблюдений). Результат обычно округляют до ближайшего целого числа.
2. Определение величины интервала (h). Сначала находят размах вариации $R$ — разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:
   $R = X_{max} - X_{min}$
   Затем величину интервала вычисляют по формуле:
   $h = \frac{R}{k}$
   Полученное значение $h$ рекомендуется округлять в большую сторону до удобного для расчетов числа (например, до целого числа или числа, кратного 5 или 10).
3. Определение границ интервалов. Первый интервал начинается с минимального значения $X_{min}$ (или чуть меньшего значения для удобства). Нижняя граница первого интервала — $X_{min}$. Верхняя граница — $X_{min} + h$. Нижняя граница второго интервала равна верхней границе первого, и так далее. Интервалы должны быть замкнутыми с одной стороны и открытыми с другой (например, [a, b)), чтобы каждое значение попало ровно в одну группу.
4. Распределение единиц совокупности по группам. На этом этапе подсчитывают, сколько единиц наблюдения (значений) попадает в каждый из созданных интервалов. Результатом является построение вариационного ряда распределения, который обычно представляют в виде таблицы частот.

Пример группировки

Предположим, имеются данные о результатах экзамена по математике для 25 студентов (в баллах): 75, 89, 66, 52, 94, 77, 83, 61, 79, 88, 91, 58, 69, 74, 81, 95, 71, 80, 63, 76, 85, 90, 68, 73, 84.

Выполним группировку этих данных.

1. Определяем количество групп. Объем выборки $n = 25$. Воспользуемся формулой Стерджесса:
$k = 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(25) \approx 1 + 3.322 \cdot 1.398 \approx 5.64$.
Округляем до ближайшего целого, получаем $k = 6$ групп. Для простоты и наглядности в данном примере можно выбрать $k=5$ групп.

2. Определяем величину интервала. Находим минимальное и максимальное значения: $X_{min} = 52$, $X_{max} = 95$.
Размах вариации: $R = 95 - 52 = 43$.
Величина интервала при $k=5$: $h = \frac{43}{5} = 8.6$. Округлим до 10 для удобства.

3. Определяем границы интервалов. Начнем с 50.
Получаем следующие интервалы: [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100).

4. Распределяем студентов по группам и составляем таблицу частот.

В результате группировки мы получили наглядное распределение студентов по успеваемости. Видно, что большинство студентов (14 из 25) получили баллы в диапазоне от 70 до 89. Эти сгруппированные данные можно легко визуализировать, например, с помощью гистограммы.

Ответ: Группировка данных — это процесс объединения исходных данных в классы или группы на основе общих признаков с целью их систематизации, выявления структуры совокупности и взаимосвязей, а также для упрощения дальнейшего анализа и визуализации. Процедура группировки количественных данных включает определение числа групп и ширины интервалов, на основе которых строится таблица частотного распределения, наглядно представляющая структуру данных.