Номер 1, страница 207, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Из трёх элементов ${a, b, c}$ надо составить группу № 1 и группу № 2. Сколько имеется способов, при которых:

а) группа № 1 состоит из одного элемента;

б) группа № 1 состоит из двух элементов;

в) в группе № 2 есть элемент $c$;

г) в группе № 2 нет элемента $b$?

В каждом из вопросов а) — г) выпишите все нужные способы.

Для решения задачи будем исходить из того, что "составить группу № 1 и группу № 2" означает разбить исходное множество элементов $S = \{a, b, c\}$ на две непересекающиеся группы. Это значит, что каждый элемент из $S$ должен принадлежать ровно одной из двух групп. Математически это можно записать как $G_1 \cup G_2 = S$ и $G_1 \cap G_2 = \emptyset$.

а) группа № 1 состоит из одного элемента

Согласно условию, в Группе № 1 должен быть ровно один элемент ($|G_1|=1$). Нам нужно выбрать этот элемент из множества $\{a, b, c\}$. Количество способов сделать такой выбор равно числу сочетаний из 3 по 1: $C_3^1 = \binom{3}{1} = 3$. Оставшиеся два элемента автоматически помещаются в Группу № 2, так как все элементы должны быть распределены.

Выпишем все три способа:

• Группа № 1: $\{a\}$, Группа № 2: $\{b, c\}$
• Группа № 1: $\{b\}$, Группа № 2: $\{a, c\}$
• Группа № 1: $\{c\}$, Группа № 2: $\{a, b\}$

Ответ: 3 способа.

б) группа № 1 состоит из двух элементов

По условию, в Группе № 1 должно быть ровно два элемента ($|G_1|=2$). Выберем эти два элемента из множества $\{a, b, c\}$. Количество способов это сделать равно числу сочетаний из 3 по 2: $C_3^2 = \binom{3}{2} = 3$. Оставшийся один элемент автоматически отправляется в Группу № 2.

Выпишем все три способа:

• Группа № 1: $\{a, b\}$, Группа № 2: $\{c\}$
• Группа № 1: $\{a, c\}$, Группа № 2: $\{b\}$
• Группа № 1: $\{b, c\}$, Группа № 2: $\{a\}$

Ответ: 3 способа.

в) в группе № 2 есть элемент c

Условие, что элемент $c$ находится в Группе № 2 ($c \in G_2$), фиксирует его положение. Нам остается распределить два оставшихся элемента, $a$ и $b$. Каждый из них может попасть либо в Группу № 1, либо в Группу № 2. Для элемента $a$ есть 2 варианта, и для элемента $b$ также 2 варианта. Общее число способов равно $2 \times 2 = 4$.

Выпишем все четыре способа:

• Элементы $a$ и $b$ в Группе № 1. Тогда Группа № 1: $\{a, b\}$, Группа № 2: $\{c\}$.
• Элемент $a$ в Группе № 1, элемент $b$ в Группе № 2. Тогда Группа № 1: $\{a\}$, Группа № 2: $\{b, c\}$.
• Элемент $a$ в Группе № 2, элемент $b$ в Группе № 1. Тогда Группа № 1: $\{b\}$, Группа № 2: $\{a, c\}$.
• Элементы $a$ и $b$ в Группе № 2. Тогда Группа № 1: $\emptyset$, Группа № 2: $\{a, b, c\}$.

Ответ: 4 способа.

г) в группе № 2 нет элемента b

Условие, что в Группе № 2 нет элемента $b$ ($b \notin G_2$), означает, что он должен находиться в Группе № 1 ($b \in G_1$). Положение элемента $b$ зафиксировано. Нам нужно распределить оставшиеся два элемента, $a$ и $c$. Каждый из них может быть либо в Группе № 1, либо в Группе № 2. Для элемента $a$ есть 2 варианта, и для элемента $c$ также 2 варианта. Общее число способов равно $2 \times 2 = 4$.

Выпишем все четыре способа:

• Элементы $a$ и $c$ в Группе № 1. Тогда Группа № 1: $\{a, b, c\}$, Группа № 2: $\emptyset$.
• Элемент $a$ в Группе № 1, элемент $c$ в Группе № 2. Тогда Группа № 1: $\{a, b\}$, Группа № 2: $\{c\}$.
• Элемент $a$ в Группе № 2, элемент $c$ в Группе № 1. Тогда Группа № 1: $\{b, c\}$, Группа № 2: $\{a\}$.
• Элементы $a$ и $c$ в Группе № 2. Тогда Группа № 1: $\{b\}$, Группа № 2: $\{a, c\}$.

Ответ: 4 способа.