Номер 8, страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

8. Приведите пример функции, которая претерпевает разрыв при $x = 1$.

Функция является непрерывной в точке $x=a$, если выполняются три условия:

1. Функция определена в точке $a$, то есть существует значение $f(a)$.
2. Существует конечный предел функции в точке $a$: $\lim_{x \to a} f(x)$.
3. Значение функции в этой точке равно ее пределу: $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, функция имеет разрыв в точке $x=a$. Приведем несколько примеров функций, имеющих разрыв в точке $x=1$.

Пример 1: Функция с разрывом второго рода (бесконечный разрыв)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x-1}$.

Эта функция не определена в точке $x=1$, так как знаменатель дроби обращается в ноль, что нарушает первое условие непрерывности. Найдем односторонние пределы функции при приближении к $x=1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty$ (так как $x-1$ является бесконечно малым отрицательным числом).
• Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} = +\infty$ (так как $x-1$ является бесконечно малым положительным числом).

Поскольку односторонние пределы равны бесконечности, в точке $x=1$ функция имеет разрыв второго рода. График функции в этой точке имеет вертикальную асимптоту $x=1$.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x-1}$.

Пример 2: Функция с разрывом первого рода («скачок»)

Рассмотрим кусочно-заданную функцию: $f(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 1 \\ 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Эта функция определена в точке $x=1$, ее значение равно $f(1) = 1$. Проверим существование предела в этой точке, вычислив односторонние пределы:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-1) = -1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (1) = 1$.

Так как предел слева не равен пределу справа ($-1 \ne 1$), общий предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует. Это нарушает второе условие непрерывности. Такой тип разрыва называется разрывом первого рода или «скачком». Величина скачка равна разности односторонних пределов: $1 - (-1) = 2$.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 1 \\ 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Пример 3: Функция с устранимым разрывом

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Эта функция не определена в точке $x=1$, так как знаменатель обращается в ноль. Первое условие непрерывности нарушено. Однако мы можем найти предел функции в этой точке:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$

Поскольку при вычислении предела мы рассматриваем значения $x$, близкие к 1, но не равные 1, мы можем сократить дробь на $(x-1)$:

$\lim_{x \to 1} (x+1) = 1+1=2$.

Предел функции в точке $x=1$ существует и конечен, но сама функция в этой точке не определена. Такой разрыв называется устранимым. Его можно «устранить», доопределив функцию в точке разрыва значением, равным ее пределу:

$g(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & \text{если } x \ne 1 \\ 2, & \text{если } x = 1 \end{cases}$

Функция $g(x)$ уже будет непрерывной в точке $x=1$. Однако исходная функция $f(x)$ имеет в этой точке разрыв.

Ответ: $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.