Номер 7, страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Придумайте кусочную функцию, график которой состоит из части параболы и двух отрезков графиков разных линейных функций. Задайте её аналитически.

Чтобы придумать и задать аналитически кусочную функцию, график которой состоит из части параболы и двух отрезков графиков разных линейных функций, необходимо последовательно определить каждую из трёх частей и интервалы, на которых они заданы.

1. Выбор части параболы

В качестве основы возьмём параболу $y = x^2$. Определим её на отрезке, например, от $x = -2$ до $x = 2$. Найдём координаты крайних точек этого участка графика, которые будут служить точками "стыковки" с отрезками прямых:
При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка стыковки $A(-2, 4)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Точка стыковки $B(2, 4)$.
Таким образом, центральная часть нашей функции: $y = x^2$ при $-2 \le x \le 2$.

2. Выбор первого отрезка линейной функции

Первый отрезок должен соединяться с графиком параболы в точке $A(-2, 4)$. Зададим его на интервале слева, например, на отрезке $[-4, -2]$.
Для нахождения уравнения линейной функции $y = k_1x + b_1$ нам нужна вторая точка. Возьмем, к примеру, точку $C(-4, 0)$.
Теперь найдём уравнение прямой, проходящей через точки $A(-2, 4)$ и $C(-4, 0)$:
Угловой коэффициент: $k_1 = \frac{4 - 0}{-2 - (-4)} = \frac{4}{2} = 2$.
Подставим координаты точки A в уравнение $y = 2x + b_1$ для нахождения $b_1$:
$4 = 2(-2) + b_1 \Rightarrow 4 = -4 + b_1 \Rightarrow b_1 = 8$.
Итак, первая линейная функция: $y = 2x + 8$. Она будет определена на отрезке $[-4, -2]$.

3. Выбор второго отрезка линейной функции

Второй отрезок должен соединяться с графиком параболы в точке $B(2, 4)$ и быть частью графика другой линейной функции. Зададим его на интервале справа, например, на отрезке $[2, 5]$.
Возьмём вторую точку для этого отрезка, например, $D(5, 1)$.
Найдём уравнение прямой $y = k_2x + b_2$, проходящей через точки $B(2, 4)$ и $D(5, 1)$:
Угловой коэффициент: $k_2 = \frac{4 - 1}{2 - 5} = \frac{3}{-3} = -1$.
Угловой коэффициент $k_2 = -1$ не равен $k_1 = 2$, значит, линейные функции различны, что соответствует условию.
Подставим координаты точки B в уравнение $y = -x + b_2$ для нахождения $b_2$:
$4 = -1(2) + b_2 \Rightarrow 4 = -2 + b_2 \Rightarrow b_2 = 6$.
Итак, вторая линейная функция: $y = -x + 6$. Она будет определена на отрезке $[2, 5]$.

4. Аналитическая запись итоговой функции

Объединим все три части в одну кусочную функцию. Чтобы функция была непрерывной, можно определить её следующим образом, используя строгие и нестрогие неравенства в точках стыка. Итоговая функция $f(x)$ будет выглядеть так:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 8, & \text{если } -4 \le x < -2 \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ -x + 6, & \text{если } 2 < x \le 5 \end{cases}$
Данная функция определена на отрезке $[-4, 5]$. Её график состоит из отрезка прямой $y=2x+8$, части параболы $y=x^2$ и отрезка прямой $y=-x+6$. Линейные функции различны. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ:
Один из возможных вариантов искомой функции, заданной аналитически:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 8, & \text{если } -4 \le x < -2 \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ -x + 6, & \text{если } 2 < x \le 5 \end{cases}$