Номер 1, страница 208, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Графическое решение уравнений.

Графический метод решения уравнений — это способ нахождения корней уравнения с помощью построения графиков функций. Корнями уравнения являются абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

Суть графического метода

Чтобы решить уравнение, его представляют в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$. Затем в одной системе координат строят графики этих функций: $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Координаты $x$ точек пересечения построенных графиков и будут являться решениями (корнями) исходного уравнения. Если графики не пересекаются, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Суть метода заключается в нахождении абсцисс точек пересечения графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения.

Решение уравнений вида $f(x) = g(x)$

Рассмотрим алгоритм на примере уравнения $x^3 = 4x$.

1. Введем две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y = x^3$ и $y = 4x$.
2. Построим графики этих функций в одной системе координат.
   • $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через точки $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.
   • $y = 4x$ — это прямая, проходящая через начало координат и, например, точку $(1, 4)$.
3. Найдем точки пересечения графиков. Из чертежа видно, что графики пересекаются в трех точках: $A(-2, -8)$, $O(0, 0)$ и $B(2, 8)$.
4. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения. В нашем случае это $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 2$.
5. Выполним проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение:
   • Для $x = -2$: $(-2)^3 = -8$ и $4 \cdot (-2) = -8$. Равенство $-8 = -8$ верно.
   • Для $x = 0$: $0^3 = 0$ и $4 \cdot 0 = 0$. Равенство $0 = 0$ верно.
   • Для $x = 2$: $2^3 = 8$ и $4 \cdot 2 = 8$. Равенство $8 = 8$ верно.

Ответ: Для решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ и найти абсциссы их точек пересечения. Корни уравнения $x^3 = 4x$: $-2, 0, 2$.

Решение уравнений вида $f(x) = 0$

Уравнения вида $f(x) = 0$ являются частным случаем предыдущего, где функция $g(x) = 0$. График функции $y = 0$ — это ось абсцисс ($Ox$). Следовательно, для решения такого уравнения нужно:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Найти точки его пересечения с осью $Ox$.
3. Абсциссы этих точек будут корнями уравнения.

Например, решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$.

1. Строим график функции $y = x^2 - 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(1, -4)$.
3. Найдем точки пересечения графика с осями. С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
4. Построив параболу по нескольким точкам (например, $(3, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, -3)$, $(2, -3)$), мы видим, что она пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Ответ: Для решения уравнения вида $f(x) = 0$ необходимо построить график функции $y = f(x)$ и найти абсциссы точек его пересечения с осью $Ox$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $-1, 3$.

Преимущества и недостатки метода

Преимущества:

• Наглядность: метод позволяет визуализировать решение и лучше понять поведение функций.
• Определение числа корней: по количеству точек пересечения можно сразу определить, сколько у уравнения действительных корней.
• Решение сложных уравнений: позволяет находить приближенные решения для уравнений, которые трудно или невозможно решить аналитически.

Недостатки:

• Приближенность: точные значения корней получаются редко, только если они являются целыми или легко определяемыми числами. Чаще всего метод дает лишь приблизительный результат.
• Трудоемкость: построение точных графиков, особенно для сложных функций, требует времени и аккуратности.
• Возможность пропуска корней: если корни очень близки друг к другу или лежат за пределами построенного фрагмента графика, их можно не заметить.

Ответ: Графический метод нагляден и полезен для определения количества корней и их приблизительных значений, но он неточен и трудоемок по сравнению с аналитическими методами.