Номер 2, страница 208, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Кусочные функции.

Определение кусочной функции

Кусочная функция (или кусочно-заданная функция) — это функция, которая определяется разными формулами (или выражениями) на разных участках (интервалах) своей области определения. Каждый такой участок называется "куском", а точки, в которых меняется формула, — "точками склейки" или "точками разрыва".

Общий вид кусочной функции можно записать так: $f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{если } x \in D_1 \\ f_2(x), & \text{если } x \in D_2 \\ ... \\ f_n(x), & \text{если } x \in D_n \end{cases}$
Здесь $f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)$ — это различные функции (например, линейные, квадратичные, тригонометрические и т.д.), а $D_1, D_2, ..., D_n$ — это непересекающиеся множества (обычно интервалы или лучи), которые в совокупности составляют область определения функции $f(x)$.

Пример и вычисление значений

Рассмотрим конкретную кусочную функцию: $g(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x < 1 \\ 3, & \text{если } x = 1 \\ -x + 4, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Чтобы найти значение функции в определенной точке, нужно сначала определить, какому из интервалов принадлежит эта точка, а затем использовать соответствующую формулу.

• Найдем $g(0)$. Поскольку $0 < 1$, мы используем первую формулу: $g(0) = 0^2 + 1 = 1$.
• Найдем $g(1)$. Поскольку $x = 1$, мы используем вторую формулу: $g(1) = 3$.
• Найдем $g(4)$. Поскольку $4 > 1$, мы используем третью формулу: $g(4) = -4 + 4 = 0$.

Построение графика кусочной функции

Для построения графика кусочной функции необходимо построить график каждой из составляющих функций, но только на её собственном интервале.

Для нашего примера с функцией $g(x)$:

1. Строим график функции $y = x^2 + 1$ для всех $x < 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$. Мы рисуем только ту её часть, которая находится левее вертикальной прямой $x=1$. В точке $x=1$ значение по этой формуле было бы $1^2+1=2$. Так как неравенство строгое ($x<1$), на графике в точке $(1, 2)$ мы ставим "выколотую" (пустую) точку.
2. Отмечаем точку для $x=1$. Согласно определению функции, $g(1) = 3$. Значит, на графике будет отдельная точка $(1, 3)$.
3. Строим график функции $y = -x + 4$ для всех $x > 1$. Это прямая линия. Мы рисуем только ту её часть, которая находится правее вертикальной прямой $x=1$. В точке $x=1$ значение по этой формуле было бы $-1+4=3$. Так как эта точка совпадает со значением функции в $x=1$ из предыдущего пункта, то наша прямая будет начинаться из точки $(1, 3)$.

Непрерывность кусочных функций

Кусочная функция может быть как непрерывной, так и разрывной. Непрерывность нарушается в точках "склейки", если "куски" графика не соединяются друг с другом.

Чтобы проверить функцию на непрерывность в точке $x=a$, нужно вычислить три значения:

1. Предел слева: $\lim_{x \to a^-} f(x)$
2. Предел справа: $\lim_{x \to a^+} f(x)$
3. Значение функции в самой точке: $f(a)$

Если все три значения существуют и равны между собой ($\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$), то функция непрерывна в точке $x=a$. В противном случае, в этой точке есть разрыв.

Проверим на непрерывность нашу функцию $g(x)$ в точке $x=1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (-x + 4) = -1 + 4 = 3$.
• Значение функции: $g(1) = 3$.

Поскольку предел слева (2) не равен пределу справа (3), функция $g(x)$ имеет разрыв в точке $x=1$. Это разрыв первого рода (скачок), так как оба односторонних предела существуют и конечны.

Ответ: Кусочная функция — это функция, заданная несколькими различными формулами, каждая из которых применяется на своем определенном участке (интервале) области определения. Для работы с такой функцией (вычисления значения, построения графика, анализа непрерывности) ключевым шагом является определение, на какой именно участок попадает интересующее значение аргумента $x$, и применение соответствующей этому участку формулы.