Номер 6, страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Придумайте кусочную функцию, график которой состоит из части параболы и луча графика линейной функции. Задайте её аналитически (с помощью формул).

Для построения требуемой кусочной функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать квадратичную функцию (параболу) и линейную функцию (прямую).
2. Определить точку, в которой график параболы будет переходить в график прямой (так называемую "точку стыковки").
3. Задать области определения (интервалы) для каждой из функций так, чтобы одна из них была частью параболы, а другая — лучом.
4. Записать итоговую функцию в аналитическом виде.

Шаг 1. Выбор функций

Возьмем простые функции для наглядности:

• Квадратичная функция (парабола): $y = x^2$.
• Линейная функция (прямая): $y = kx + b$. Коэффициенты $k$ и $b$ мы определим позже.

Шаг 2. Определение точки стыковки

Пусть график переходит из параболы в прямую в точке, где абсцисса $x = 1$. Найдем ординату этой точки, подставив значение $x$ в уравнение параболы:

$y = 1^2 = 1$

Таким образом, точка стыковки — $(1, 1)$. Чтобы график был непрерывным (без разрывов), луч линейной функции должен начинаться из этой же точки.

Это означает, что наша линейная функция $y = kx + b$ также должна проходить через точку $(1, 1)$. Подставим координаты точки в уравнение прямой:

$1 = k \cdot 1 + b$ или $1 = k + b$.

Мы можем выбрать любое значение для коэффициента наклона $k$. Например, пусть $k = -2$. Тогда найдем $b$:

$1 = -2 + b \implies b = 3$.

Итак, наша линейная функция — это $y = -2x + 3$.

Шаг 3. Задание областей определения

Мы решили, что "стыковка" происходит при $x = 1$. Давайте определим, что до этой точки (включая ее) график будет частью параболы, а после — лучом прямой.

• Часть параболы: $y = x^2$ при $x \le 1$.
• Луч прямой: $y = -2x + 3$ при $x > 1$.

Шаг 4. Аналитическая запись функции

Теперь мы можем записать итоговую кусочную функцию, используя системную скобку.

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ -2x + 3, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

График этой функции будет представлять собой ветвь параболы $y=x^2$, идущую из $-\infty$ до точки $(1, 1)$, где она плавно переходит в луч прямой $y=-2x+3$, уходящий в $+\infty$ (при этом убывая).

Ответ:

Пример искомой кусочной функции: $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ -2x + 3, & \text{если } x > 1 \end{cases}$