Номер 4, страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Как вы понимаете, что такое кусочная функция?

Кусочная функция (или кусочно-заданная функция) — это функция, которая определяется разными формулами или правилами для разных частей (интервалов) своей области определения. Иными словами, вместо одной-единственной формулы, действующей для всех возможных значений аргумента x, у нас есть "набор" формул, и каждая из них работает только на своем, заранее указанном, участке числовой оси. Можно представить себе такую функцию как мозаику или лоскутное одеяло, сшитое из "кусочков" графиков других, более простых функций.

Общий вид задания кусочной функции выглядит так:

$f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{если } x \text{ принадлежит интервалу } 1 \\ f_2(x), & \text{если } x \text{ принадлежит интервалу } 2 \\ \dots \\ f_n(x), & \text{если } x \text{ принадлежит интервалу } n \end{cases}$

Здесь $f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)$ — это различные функции (например, линейные, квадратичные, тригонометрические и т.д.), а интервалы, на которых они определены, вместе составляют всю область определения функции $f(x)$.

Пример:
Рассмотрим функцию $y = f(x)$, заданную следующим образом:
$f(x) = \begin{cases} -x - 2, & \text{если } x \le -1 \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 2 \\ 4, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Как "читать" такую запись:

• Если значение аргумента $x$ меньше или равно $-1$ (например, $x=-3$, $x=-1$), то для вычисления значения функции мы используем первую формулу: $y = -x - 2$.
• Если $x$ находится в интервале от $-1$ (не включая) до $2$ (включая) (например, $x=0$, $x=1.5$, $x=2$), то мы используем вторую формулу: $y = x^2$.
• Если $x$ строго больше $2$ (например, $x=3$, $x=10$), мы используем третью формулу, которая говорит, что значение функции всегда равно $4$: $y = 4$.

Построение графика:

Чтобы построить график такой функции, нужно построить график каждой "части" на ее собственном интервале:

1. Строим график функции $y = -x - 2$ (это прямая) и оставляем только ту его часть, которая соответствует $x \le -1$.
2. Строим график функции $y = x^2$ (это парабола) и оставляем от него только дугу, соответствующую $-1 < x \le 2$.
3. Строим график функции $y = 4$ (это горизонтальная прямая) и берем только ту его часть, где $x > 2$.

Важно обратить внимание на "стыки" — точки, где одна формула сменяет другую (в нашем примере это $x=-1$ и $x=2$). В этих точках функция может быть непрерывной (график не прерывается) или иметь разрыв (график "прыгает").

• При $x=-1$: первая формула дает $y = -(-1) - 2 = -1$. Вторая формула в этой точке не определена, но стремится к $(-1)^2 = 1$. Так как $-1 \ne 1$, в точке $x=-1$ будет разрыв. Точка $(-1, -1)$ будет принадлежать графику (изображается закрашенным кружком), а точка $(-1, 1)$ — нет (изображается выколотым, или пустым, кружком).
• При $x=2$: вторая формула дает $y = 2^2 = 4$. Третья формула при $x>2$ также равна $4$. Так как значения совпадают, в точке $x=2$ разрыва не будет, и график будет непрерывным.

Самыми известными примерами кусочных функций являются:

• Модуль (абсолютная величина): $y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
• Функция знака (сигнум): $y = \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, кусочная функция — это гибкий математический инструмент для описания процессов и явлений, поведение которых меняется в зависимости от условий.

Ответ: Кусочная функция — это единая функция, которая задается не одной, а несколькими различными формулами, каждая из которых применяется к своему определенному участку (интервалу) области определения. График такой функции "сшивается" из кусков графиков тех функций, из которых она состоит. В точках "стыка" этих интервалов функция может быть как непрерывной, если значения "кусочных" функций совпадают, так и иметь разрыв.