Номер 4, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Нашли абсциссы точек пересечения — это и есть корни уравнения.

Данное утверждение описывает суть графического метода решения уравнений. Этот метод заключается в том, чтобы найти решения (корни) уравнения путём построения и анализа графиков соответствующих функций.

Рассмотрим общее уравнение вида $f(x) = g(x)$. Чтобы решить его графически, вводят две функции: $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Затем в одной системе координат строят графики этих двух функций.

Точка пересечения графиков — это точка, которая принадлежит одновременно обоим графикам. Пусть $(x_0, y_0)$ является точкой пересечения.

Поскольку точка $(x_0, y_0)$ лежит на графике функции $y = f(x)$, её координаты удовлетворяют уравнению этой функции, то есть, должно выполняться равенство $y_0 = f(x_0)$.

Аналогично, поскольку эта же точка лежит на графике функции $y = g(x)$, её координаты удовлетворяют и второму уравнению: $y_0 = g(x_0)$.

Так как левые части обоих равенств равны ($y_0$), то должны быть равны и их правые части: $f(x_0) = g(x_0)$.

Это равенство показывает, что значение $x = x_0$ является решением (корнем) исходного уравнения $f(x) = g(x)$. Таким образом, абсцисса (координата $x$) любой точки пересечения графиков является корнем уравнения.

Справедливо и обратное: если $x_k$ — это корень уравнения $f(x)=g(x)$, то $f(x_k)=g(x_k)$. Обозначив это значение как $y_k$, мы получаем точку $(x_k, y_k)$, которая принадлежит обоим графикам, а значит, является их точкой пересечения.

Рассмотрим пример: решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$ графическим методом.

Преобразуем уравнение к виду $f(x) = g(x)$, перенеся часть слагаемых в правую часть: $x^2 = 2x + 3$.

Теперь построим графики двух функций: $y = x^2$ (парабола, ветви вверх, вершина в начале координат) и $y = 2x + 3$ (прямая линия).

Нам нужно найти абсциссы точек, в которых эти два графика пересекаются. Для проверки найдем эти точки аналитически, решив уравнение $x^2 = 2x + 3$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Этим условиям удовлетворяют числа $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Итак, мы нашли корни уравнения. Это и есть абсциссы точек пересечения. Найдем соответствующие ординаты, чтобы получить полные координаты точек:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 3^2 = 9$. Точка пересечения $A(3, 9)$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = (-1)^2 = 1$. Точка пересечения $B(-1, 1)$.

Следовательно, абсциссы точек пересечения графиков ($3$ и $-1$) в точности совпадают с корнями уравнения.

Отдельно стоит упомянуть частный случай: для уравнения вида $f(x) = 0$ мы ищем точки пересечения графика $y=f(x)$ с графиком $y=0$. График $y=0$ — это ось абсцисс (ось $Ox$). Поэтому корни уравнения $f(x)=0$ — это абсциссы точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с осью $Ox$.

Ответ: Утверждение верно. Абсциссы точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ являются корнями уравнения $f(x)=g(x)$, так как в этих точках значения функций равны ($f(x)=y$ и $g(x)=y$), что по определению означает выполнение равенства $f(x)=g(x)$.