Номер 1, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Фактически мы использовали следующий алгоритм.

1. Ввели в рассмотрение функции $y = x^2$, $y = x + 2$ (для другого уравнения будут, разумеется, иные функции).

Текст на изображении является первым шагом графического метода решения уравнения. Уравнение, о котором идет речь, получается приравниванием правых частей заданных функций: $y = x^2$ и $y = x + 2$.

Таким образом, мы решаем уравнение: $x^2 = x + 2$.

Это уравнение можно решить двумя основными способами: алгебраическим и графическим.

1. Алгебраическое решение

Для решения уравнения $x^2 = x + 2$ приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 - x - 2 = 0$

Теперь можно найти корни. Сделаем это двумя способами.

а) Через дискриминант

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
В нашем уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

б) По теореме Виета

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ (у нас $p = -1$, $q = -2$) справедливы соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = 1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -2$
Подбором находим два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Этими числами являются 2 и -1.
$2 + (-1) = 1$
$2 \cdot (-1) = -2$
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 2$.

2. Графическое решение

Этот метод, предложенный в тексте, заключается в построении графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и нахождении абсцисс (координат $x$) точек их пересечения.

Строим графики функций $y = x^2$ и $y = x + 2$ в одной системе координат.

График функции $y = x^2$

Это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат (0, 0). Для построения возьмем несколько точек:
- при $x=0, y=0$
- при $x=1, y=1$
- при $x=-1, y=1$
- при $x=2, y=4$
- при $x=-2, y=4$

График функции $y = x + 2$

Это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек:
- при $x=0, y=2$ (точка пересечения с осью OY)
- при $y=0, x=-2$ (точка пересечения с осью OX)

Нахождение решения

Начертив оба графика, мы ищем точки их пересечения. Видно, что графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты по графику:

Первая точка пересечения: $(-1, 1)$
Вторая точка пересечения: $(2, 4)

Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения $x^2 = x + 2$.

Проверим, действительно ли эти точки принадлежат обоим графикам:
Для точки $(-1, 1)$:
$y = x^2 \Rightarrow 1 = (-1)^2 \Rightarrow 1 = 1$ (верно)
$y = x + 2 \Rightarrow 1 = -1 + 2 \Rightarrow 1 = 1$ (верно)

Для точки $(2, 4)$:
$y = x^2 \Rightarrow 4 = 2^2 \Rightarrow 4 = 4$ (верно)
$y = x + 2 \Rightarrow 4 = 2 + 2 \Rightarrow 4 = 4$ (верно)

Координаты найдены верно. Абсциссы (значения $x$) этих точек являются корнями уравнения.

Ответ: $x = -1, x = 2$.