Номер 6, страница 194, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Дана функция $y = x^2$. Придумайте линейную функцию $y = kx + m$ такую, что графики обеих функций:

а) не пересекаются;

б) пересекаются в двух точках;

в) имеют одну общую точку.

Точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = kx + m$ являются решениями системы уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = kx + m \end{cases} $

Приравняв правые части уравнений, получим квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 = kx + m$

$x^2 - kx - m = 0$

Количество точек пересечения графиков зависит от количества действительных корней этого квадратного уравнения, которое, в свою очередь, определяется знаком его дискриминанта $D$.

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = k^2 + 4m$

• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и графики не пересекаются.
• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и графики пересекаются в двух точках.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, и графики имеют одну общую точку (касаются).

а) не пересекаются

В этом случае дискриминант должен быть отрицательным: $k^2 + 4m < 0$. Нужно подобрать такие значения $k$ и $m$, чтобы это неравенство выполнялось. Возьмем, к примеру, $k = 0$. Тогда неравенство примет вид: $0^2 + 4m < 0$, или $4m < 0$, откуда $m < 0$. Выберем любое значение $m$, удовлетворяющее этому условию, например, $m = -1$. Таким образом, получаем линейную функцию $y = 0 \cdot x - 1$, то есть $y = -1$. Для этой функции уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней, значит, графики не пересекаются.

Ответ: $y = -1$.

б) пересекаются в двух точках

В этом случае дискриминант должен быть положительным: $k^2 + 4m > 0$. Возьмем, к примеру, $k = 0$. Тогда неравенство примет вид: $0^2 + 4m > 0$, или $4m > 0$, откуда $m > 0$. Выберем любое значение $m$, удовлетворяющее этому условию, например, $m = 1$. Получаем линейную функцию $y = 0 \cdot x + 1$, то есть $y = 1$. Для этой функции уравнение $x^2 = 1$ имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Это означает, что графики пересекаются в двух точках: $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Ответ: $y = 1$.

в) имеют одну общую точку

В этом случае дискриминант должен быть равен нулю: $k^2 + 4m = 0$. Возьмем, к примеру, $k = 2$. Тогда уравнение примет вид: $2^2 + 4m = 0$, или $4 + 4m = 0$, откуда $4m = -4$ и $m = -1$. Получаем линейную функцию $y = 2x - 1$. Для этой функции уравнение $x^2 = 2x - 1$ преобразуется в $x^2 - 2x + 1 = 0$, или $(x-1)^2 = 0$. Оно имеет один корень $x=1$. Это означает, что графики имеют одну общую точку касания $(1; 1)$. Другой, более простой пример: если взять $k = 0$, то из $k^2 + 4m = 0$ следует, что $m=0$. Тогда линейная функция $y=0$. Уравнение $x^2=0$ имеет один корень $x=0$.

Ответ: $y = 2x - 1$ (или, например, $y=0$).